Encontre os números críticos da função

g(y) = (y - 1) / (y^2 - y + 1)

Passo 1

Oi galerinha, bora lá:

O enunciado pede para encontrar os números críticos da função

g y = y - 1 y 2 - y + 1

Os números críticos de uma função são os valores de y onde a derivada da função é zero ou não está definida. Esses pontos são importantes porque podem indicar onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

- Para determinar os números críticos, a primeira coisa que precisamos fazer é encontrar a derivada de g ( y ) . A derivada nos diz como a função g ( y ) muda em relação a y .

- A função dada é uma fração, então usamos a regra do quociente para encontrar a derivada. A regra do quociente é uma fórmula específica usada para derivar funções que são divisões de duas outras funções.

Se temos g y = u y v y , a regra do quociente é:

u v ' = u ' v - u v ' v 2

  • Aqui, u y = y - 1 e v y = y 2 - y + 1 .
  • u ' ( y ) é a derivada de u ( y ) e v ' ( y ) é a derivada de v ( y ) .

- Depois de encontrar a derivada, procuramos os valores de y que fazem a derivada ser zero ou que tornam a derivada indefinida. Esses são os possíveis números críticos.

Encontrar os números críticos de uma função é uma etapa crucial em muitas análises de funções em cálculo. Esses pontos podem nos dizer onde a função atinge seus valores máximos ou mínimos, o que é fundamental para entender o comportamento geral da função. Por exemplo, em otimização, saber onde estão os pontos críticos ajuda a determinar os valores ótimos.

Passo 2

Temos que um número crítico de uma função é o y quando

g ' y = 0

Então, para encontra-lo, basta derivarmos a função g e igualar g ' a zero.

Então

g ' y = 1 ( y 2 - y + 1 ) - y - 1 ⋅ 2 y - 1 y 2 - y + 1 2

= y 2 - y + 1 - 2 y 2 - y - 2 y + 1 y 2 - y + 1 2

= y 2 - y + 1 - 2 y 2 + 3 y - 1 y 2 - y + 1 2

= - y 2 + 2 y y 2 - y + 1 2

= y 2 - y y 2 - y + 1 2

Passo 3

Agora, igualando a zero, ficamos com

y 2 - y y 2 - y + 1 2 = 0

No numerador

y 2 - y = 0

y = 0   e   y = 2

No denominador, a função não existe quando o denominador for zero, então, o denominador igual a zero também é um número crítico.

y 2 - y + 1 2 = 0  

y 2 - y + 1 = 0

Se utilizarmos a Fórmula de Baskara, vemos que

∆   < 0

Então, essa equação não apresenta nenhuma raíz real, logo, os únicos números críticos são 0   e   2 .

Resposta

0   e   2 são os únicos números críticos da função.

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