Calcule a integral e interprete-a como uma diferença de áreas. Ilustre com um esboço

∫ π 4 5 π 2 sin ⁡ x d x

Passo 1

Pessoal, nessa questão queremos calcular a seguinte integral:

∫ π 4 5 π 2 sin ⁡ x d x

Sabemos que uma integral definida é dada por:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Sendo F ( x ) uma função que quando derivada resulta em f ( x ) :

f x = F ' ( x )

Sabemos também que a integral representa a área abaixo da função, de forma que se a função está acima do eixo x esse valor é positivo e se a função está abaixo do eixo x , encontramos a área, mas com um valor negativo.

Passo 2

Essa integral é bem simples, não é mesmo? Então podemos calcular diretamente da seguinte maneira

∫ a b f x d x = F x b a

A função que quando derivada resulta no seno é o menos cosseno, logo:

∫ π 4 5 π 2 sin ⁡ x d x = - cos ⁡ x π 4 5 π 2

= - cos ⁡ 5 π 2 - - cos ⁡ π 4

= 0 + 2 2 = 2 2

Passo 3

Podemos interpretar o resultado obtido da seguinte maneira:

Perceba que a área que está abaixo do eixo x é calculada de forma negativa e a área que está acima do eixo x é calculada de forma positiva.

Resposta

∫ π 4 5 π 2 sin ⁡ x d x = 2 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados