Encontre lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ 1 x sin ⁡ x , se existir

Passo 1

O melhor caminho pra tentarmos determinar esse limite é pelo Teorema do Confronto.

Primeiro, lembramos da trigonometria básica que o seno de um ângulo (que, nesse caso, é descrito por 1 x ) está limitado entre - 1 e 1 . Escrevemos então:

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x ≤ 1

Agora, repara que se a gente multiplicar cada termo da inequação por x sin ⁡ x a gente vai ter:

Passo 2

- x sin ⁡ x ≤ x sin ⁡ 1 x sin ⁡ x ≤ x sin ⁡ x

Que, no termo do meio, resulta exatamente na nossa função f ( x ) . O Teorema do Confronto diz que, quando uma função é limitada entre outras duas, o limite dessas funções dos extremos a um determinado valor, também vai valer pra função do meio – se os limites forem iguais!

Se queremos lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ 1 x sin ⁡ x , podemos calcular lim x → 0 ⁡ - x sin ⁡ x e lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x , que vamos ter o resultado pro primeiro limite!

Passo 3

E lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x e lim x → 0 ⁡ - x sin ⁡ x são facilmente calculáveis por L’Hôpital! Temos:

lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ - 1 cos ⁡ x = - 1 cos ⁡ 0 = - 1 1 = - 1

lim x → 0 ⁡ - x sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x = 1 cos ⁡ 0 = 1 1 = 1

Nesse caso, conseguimos calcular os limites das funções que delimitam a nossa função de interesse, mas esses limites têm valores diferentes. Assim, concluímos que o limite pra nossa função não existe!

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ 1 x sin ⁡ x = ∄

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