Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 69
Encontre , se existir
Passo 1
O melhor caminho pra tentarmos determinar esse limite é pelo Teorema do Confronto.
Primeiro, lembramos da trigonometria básica que o seno de um ângulo (que, nesse caso, é descrito por ) está limitado entre e . Escrevemos então:
Agora, repara que se a gente multiplicar cada termo da inequação por a gente vai ter:
Passo 2
Que, no termo do meio, resulta exatamente na nossa função . O Teorema do Confronto diz que, quando uma função é limitada entre outras duas, o limite dessas funções dos extremos a um determinado valor, também vai valer pra função do meio – se os limites forem iguais!
Se queremos , podemos calcular e , que vamos ter o resultado pro primeiro limite!
Passo 3
E e são facilmente calculáveis por L’Hôpital! Temos:
Nesse caso, conseguimos calcular os limites das funções que delimitam a nossa função de interesse, mas esses limites têm valores diferentes. Assim, concluímos que o limite pra nossa função não existe!