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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 53

Determine o limite:

underset(x -> oo)(lim) ( ln x )^((1)/(x))

Passo 1

O limite resulta em uma indeterminação da forma oo^0 .

Para fugir da indeterminação, vamos fazer f (x) = (ln x)^((1)/(x)) . Agora vamos fazer o logaritmo dos dois lados:

ln ( f (x) ) = ln ( ln x )^((1)/(x))

Isso resulta em: ln f ( x ) = (ln ln x)/(x)

Agora temos:

underset(x -> oo)(lim) ln f ( x ) = underset(x -> oo)(l i m) (ln ln x)/(x)

Passo 2

Agora vamos aplicar L’Hôpital, derivando a função de cima e a de baixo...

underset(x -> oo)(l i m) (ln ln x)/(x) = underset(x -> oo)(l i m) (((1)/(x ln x)))/(1) = (0)/(1) = 0

Então, underset(x -> oo)(lim) ln f ( x ) = 0 , elevando os dois lados à exponencial...

underset(x -> oo)(lim) ln f ( x ) = 0 underset(x -> oo)(lim) e^(l n f (x)) = e^0

underset(x -> oo)(l i m) f (x) = 1

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

underset(x -> oo)(lim) ( ln x )^((1)/(x)) = 1

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