Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.4 - Ex. 79
Se um campo eletrostático agir em um dielétrico polar líquido ou gasoso, o momento de dipolo resultante por unidade de volume é
Mostre que .
Passo 1
Fala aí, tudo certinho como você?
Bom essa questão diz pra gente que se um campo eletrostático agir em um dielétrico polar líquido ou gasoso, o momento de dipolo resultante por unidade de volume é
Devermos mostrar que o limite desse momento dipolo quando é igual a zero. Ou seja,
A ideia aqui será tentar calcular esses limite. Mas caso a gente caia em alguma indeterminação do tipo ou , poderemos aplicar a regra de L’Hospital.
E pra gente fazer isso, vamos relembrar a regra.
A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Ou se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Aplicando a tendência de no momento dipolo ficamos com:
Ou seja, teremos:
Opa!
Temos um limite indeterminado, porém ele não é do tipo L’Hospital.
Para que fosse, nosso limite deveria ter caído em uma indeterminação na forma 0/0 ou /.
Sendo assim, vamos tentar fazer algumas modificações algébrica em nossa função pra ver se conseguimos um limite na forma correta para usar o L’Hospital.
Passo 3
Vamos brincar com a expressão de para achar o tipo de indeterminação que estamos precisando:
Podemos tirar o mmc entre os denominadores das duas frações, assim:
Que pode ser escrito na forma:
E aplicando o limite, ficaremos com:
Com isso
Ou seja, temos uma indeterminação do tipo , agora podemos aplicar a regra de L’Hospital!!!
Passo 4
Lemdrando que se
Podemos fazer:
Aplicando a regra em nossa função, devemos derivar as funções que estão no numerador e no denominador, assim:
Que pode ser escrita como:
Já a do denominador é
Será
Assim, nosso limite
se torna:
E se tentarmos calcular novamente esse limite, seguimos com uma indeterminação do tipo .
Então, vamos aplicar a regra de L’Hospital novamente!!!
Passo 5
Como agora temos:
Devemos derivar as funções que estão no numerador e no denominador, novamente.
Temos que no numerador
Que pode ser ecrita como:
E no denominador, teremos:
Escrita como:
Assim, pela regra de L’Hospital:
E calculando, teremos:
Desta forma,
E assim, aplicando duas vezes a regra de L’Hospital, encontramos uma resposta que não é indeterminada e provamos o que queríamos.
Resposta
Demonstração.