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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 15

Encontre o limite.

underset(x -> 0^+)(lim) (c o t g x)/(ln x)

Passo 1

Se substituirmos o valor na função, observa que encontramos (oo)/(oo) , certo? Então bora aplicar L’Hospital. Até agora, temos:

underset(x -> 0^+)(lim) (c o t g x)/(ln x)

Derivando ficamos com:

underset(x -> 0^+)(lim) (- c o s s e c^2 x)/((1)/(x))

Podemos simplificar para:

underset(x -> 0^+)(lim) - x c o s s e c^2 (x)

Vale lembrar que underset(x -> a)(lim) [c . f (x)] = c underset(x -> a)(lim) f ( x ) , logo

- underset(x -> 0^+)(lim) x c o s s e c^2 (x)

Expressando com o seno, cosseno temos

- underset(x -> 0^+)(lim) (x)/(s e n^2 x)

Passo 2

Aplicamos mais uma vez agora a regra de L’Hospital:

- underset(x -> 0^+)(lim) (1)/(s e n (2 x))

Maravilha! Disso que a gente encontrou o limite ja sai. Ficamos com:

- (1)/(s e n (0^+))

Observa que para x se aproximando de 0 pela direita, x > 0 -> s e n (2 x) > 0 . O denominador é um valor então positivo! Logo teremos:

- (1)/(0) = - oo

Resposta

- oo

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Determine um valor de c que torne a função: f x = 9 x - 3 s e n3 x 5 x 3 ,x ≠ 0 c ,x = 0 contínua em x = 0. Explique por que seu valor de c funciona.
Qual deles está correto e qual está incorreto? Justifique suaresposta. l i m x → 3 x - 3 x 2 - 3 = l i m x → 3 1 2 x = 1 6 l i m x → 3 x - 3 x 2 - 3 = l i m x → 3 0 6 = 0
Mostre queunderset(k - oo)(l i m) (1 + (r)/(k)) ^k = e ^r
Este exercício explora a diferença entre o limite l i m x → ∞ 1 +1 x 2 x e o limite l i m x → ∞ 1 +1 x x = e Use a regra de L’ Hopital para mostrar que l i m x → ∞ 1 +1 x x = e
b. Esboce f ( x ) = l i m x → ∞ 1 +1 x 2 x e l i m x → ∞ 1 +1 x x em um único gráfico para x ≥ 0 . Como o comportamento de f se compara com o de g? Estime o valor de l i m x → ∞ f ( x ) .c. Confirme s