Encontre o limite.

lim x → 0 + ⁡ c o t g   x ln ⁡ x

Passo 1

Se substituirmos o valor na função, observa que encontramos ∞ ∞ ,   certo? Então bora aplicar L’Hospital. Até agora, temos:

lim x → 0 + ⁡ c o t g   x ln ⁡ x

Derivando ficamos com:

lim x → 0 + ⁡ - c o s s e c 2   x 1 x

Podemos simplificar para:

lim x → 0 + ⁡ - x   c o s s e c 2 x

Vale lembrar que lim x → a  ⁡ c . f x =   c   lim x → a ⁡ f ( x ) , logo

- lim x → 0 + ⁡ x   c o s s e c 2 x

Expressando com o seno, cosseno temos

- lim x → 0 + ⁡ x s e n 2 x

Passo 2

Aplicamos mais uma vez agora a regra de L’Hospital:

- lim x → 0 + ⁡ 1 s e n 2 x

Maravilha! Disso que a gente encontrou o limite ja sai. Ficamos com:

- 1 s e n 0 +

Observa que para x se aproximando de 0 pela direita, x > 0 → s e n 2 x > 0 . O denominador é um valor então positivo! Logo teremos:

- 1 0 = - ∞

Resposta

- ∞

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