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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.6 - Ex. 26

Encontre o limite ou demonstre que ele não existe:

lim x → ∞ ⁡ x + 3 x 2 4 x - 1

Passo 1

Bom galera, pra esse problema a gente já tem que saber uma coisinha sobre limite tendendo a infinito que é:

lim x → ∞ ⁡ a x b = 0

E tem outro caso também:

lim x → ∞ ⁡ x a b = ∞

Passo 2

Beleza, a gente pega a função dentro do limite e coloca em evidência o x que tá elevado ao maior número, fica bem assim:

lim x → ∞ ⁡ x + 3 x 2 4 x - 1 → lim x → ∞ ⁡ x 2 x x 2 + 3 x 4 - 1 x

→ lim x → ∞ ⁡ x 2 1 x + 3 x 4 - 1 x

Passo 3

Pronto, agora lembra que a gente pode aplicar o limite separadamente em uma soma? Certo, então a gente já pode aplicar alguns limite dentro do parênteses que são iguais aqueles que eu falei no passo 1, fica:

lim x → ∞ ⁡ x 2 1 x + 3 x 4 - 1 x → lim x → ∞ ⁡ x 2 0 + 3 x 4 - 0

→ lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 4 x → lim x → ∞ ⁡ 3 x 4

Passo 4

Calma, agora a gente só precisa aplicar o limite e pronto:

lim x → ∞ ⁡ 3 x 4 = ∞

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x + 3 x 2 4 x - 1 = ∞

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Prove que a função mais geral que é igual à sua derivada é dada por f x = k e x . (Sugestão: faça y = f ( x ) e resolva a equação diferencial d y d x = y .)
f ( x ) = 1 + x 1 x e , x = 0