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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.6 - Ex. 41

Encontre o limite ou demonstre que ele não existe:

lim x → ∞ ⁡ [ ln ⁡ 1 + x 2 - ln ⁡ ( 1 + x ) ]

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😊

Nesse problema queremos obter o limite lim x → ∞ ⁡ [ ln ⁡ 1 + x 2 - ln ⁡ ( 1 + x ) ]

Tem ideia do que fazer? 😬

Se aplicarmos o método de substituição diretamente vamos cair em uma indeterminação ∞ - ∞ .

Então para solucionar essa questão podemos aplicar uma propriedade logarítmica para facilitar nossa vida...

ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b

Veja só! 😎

Passo 2

Beleza, se a gente usar essa propriedade dos logaritmos, a gente vai facilitar nosso cálculos:

lim x → ∞ ⁡ [ ln ⁡ 1 + x 2 - ln ⁡ ( 1 + x ) ] = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x 2 1 + x

Agora, a gente pode colocar em evidência os x da fração:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x 2 1 + x → lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 1 x 2 + 1 x 1 x + 1

→ lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x 1 x 2 + 1 1 x + 1

Continuando, podemos aplicar o limite nas frações dentro do parênteses pra eliminar porque a gente sabe que:

lim x → ∞ ⁡ a x b = 0

Então a gente aplica isso no limite:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x 1 x 2 + 1 1 x + 1 → lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x 0 + 1 0 + 1

→ lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Por fim a gente aplica o limite, pra ajudar a gente a desobrir o limite de ln ⁡ x , a gente pode olhar o gráfico:

Como a função cresce indefinidamente, então:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x = ∞

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😇

Resposta

lim x → ∞ ⁡ [ ln ⁡ 1 + x 2 - ln ⁡ ( 1 + x ) ] = ∞

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