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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.4 - Ex. 41

Encontre o limite.

underset(x -> 0)(lim) (c o t g (2 x))/(c o s s e c (x))

Passo 1

Nessa questão ele nos pede para calcular o seguinte limite:

L = underset(x -> 0)(lim) (c o t g (2 x))/(c o s s e c (x))

Como c t g (2 x) = (cos (2 x))/(s e n (2 x)) e c o s s e c (x) = (1)/(s e n (x)) :

L = underset(x -> 0)(lim) ((cos (2 x))/(s e n (2 x)))/((1)/(s e n (x)))

Isto é,

L = underset(x -> 0)(lim) (sen (x) cos (2 x))/(s e n (2 x))

Passo 2

Mas também sabemos que s e n (2 x) = 2 s e n (x) cos (x) . logo,

L = underset(x -> 0)(lim) (sen (x) cos (2 x))/(2 s e n (x) cos (x))

Simplificando,

L = (1)/(2) underset(x -> 0)(lim) (cos (2 x))/(cos (x))

Quando x -> 0 :

L = (1)/(2) underset(x -> 0)(lim) (cos (0))/(cos (0))

Logo,

L = (1)/(2)

Resposta

L = (1)/(2)

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