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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 6

Seja f (x) = cotg x . Calcule.

a) f^' (x)

b) f^' ((pi)/(4))

Passo 1

a) A derivada de f pode ser calculada pelo limite:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (cotg (x + h) - cotg x)/(h)

underset(h -> 0)(lim) (cotg (x + h) - cotg x)/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((cos (x + h))/(sen (x + h)) - (cos x)/(sen x))/(h)

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (sen x cos (x + h) - sen (x + h) cos x)/(h sen (x + h) sen x)

Se pelo seno da diferença temos sen (a - b) = sen a cos b - sen b cos a , então:

sen x cos (x + h) - sen (x + h) cos x = sen (x - x - h) = sen (- h) = - sen h

Assim:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (- sen h)/(h sen (x + h) sen x) = underset(h -> 0)(lim) (- sen h)/(h) * (1)/(sen (x + h) sen x) = - 1 * (1)/(sen^2 x)

Como (1)/(sen x) = cosec x , concluímos que:

f^' (x) = - cosec^2 x

Passo 2

b) Se f^' (x) = - cosec^2 x , então:

f^' ((pi)/(4)) = - cosec^2 (pi)/(4) = - ((1)/(sen (pi)/(4)))^2 = - ((2)/(sqrt(2)))^2 = - (4)/(2) = - 2

f^' ((pi)/(4)) = - 2

Resposta

f^' ((pi)/(4)) = - 2

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