Seja f(x) = cotg(x) . Calcule. a) f'(x) b) f' (π / 4) Passo 1a) A derivada de f pode ser calculada pelo limite: f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (cotg (x + h) - cotg x)/(h) underset(h -> 0)(lim) (cotg (x + h) - cotg x)/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((cos (x + h))/(sen (x + h)) - (cos x)/(sen x))/(h) f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (sen x cos (x + h) - sen (x + h) cos x)/(h sen (x + h) sen x) Se pelo seno da diferença temos sen (a - b) = sen a cos b - sen b cos a , então: sen x cos (x + h) - sen (x + h) cos x = sen (x - x - h) = sen (- h) = - sen h Assim: f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (- sen h)/(h sen (x + h) sen x) = underset(h -> 0)(lim) (- sen h)/(h) * (1)/(sen (x + h) sen x) = - 1 * (1)/(sen^2 x) Como (1)/(sen x) = cosec x , concluímos que: f^' (x) = - cosec^2 x Passo 2b) Se f^' (x) = - cosec^2 x , então: f^' ((pi)/(4)) = - cosec^2 (pi)/(4) = - ((1)/(sen (pi)/(4)))^2 = - ((2)/(sqrt(2)))^2 = - (4)/(2) = - 2 f^' ((pi)/(4)) = - 2 Resposta f^' ((pi)/(4)) = - 2 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros Relacionados39-50 Encontre os limites.49. lim x → π / 4 1 - tg x sen x - cos x39-50 Encontre os limites.47. lim θ → 0 cos θ - 1 2 θ 21 – 16 Derive.1. f(x) = x^2 * sen(x)1 – 16 Derive.15. f(t) = t * e^t * cotg(t)1 – 16 Derive.14. y = sen(t) / (1 + tg(t))Ver TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre DerivadasLista de exercícios de Derivadas de Funções TrigonométricasVer exercício 7.4 - 6bVer exercício 7.5 - 2