Seja g(x) = cosec(x) . Calcule. a) g'(x) b) g' ( π / 4 ) Passo 1a) A derivada de g pode ser calculada pelo limite: g^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (g (x + h) - g (x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (cosec (x + h) - cosec x)/(h) underset(h -> 0)(lim) (cosec (x + h) - cosec x)/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((1)/(sen (x + h)) - (1)/(sen x))/(h) g^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (sen x - sen (x + h))/(h sen (x + h) sen x) Se pelo seno da diferença temos sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a , então: sen (x + h) = sen x cos h + sen h cos x Assim: g^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (sen x - sen x cos h - sen h cos x)/(h sen (x + h) sen x) = underset(h -> 0)(lim) (sen x (1 - cos h) - sen h cos x)/(h sen (x + h) sen x) g^' (x) = underset(h -> 0)(lim) ((1 - cos h))/(h) * (sen x)/(sen (x + h) sen x) - underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h) * (cos x)/(sen (x + h) sen x) Como underset(h -> 0)(lim) ((1 - cos h))/(h) = 0 e underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h) = 1 , temos: g^' (x) = 0 - 1 * (cos x)/(sen (x + 0) sen x) = - (1)/(sen x) * (cos x)/(sen x) = - cosec x cotg x Logo: g^' (x) = - cosec x cotg x Passo 2b) g^' ((pi)/(4)) Se g^' (x) = - cosec x cotg x , então: g^' ((pi)/(4)) = - cosec (pi)/(4) cotg (pi)/(4) = - (1)/(sen (pi)/(4)) * (cos (pi)/(4))/(sen (pi)/(4)) = - (1)/(((sqrt(2))/(2))) * (((sqrt(2))/(2)))/(((sqrt(2))/(2))) = - (2)/(sqrt(2)) Logo: g^' ((pi)/(4)) = - sqrt(2) Respostaa) g^' (x) = - cosec x cotg x b) g^' ((pi)/(4)) = - sqrt(2) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosAvalie lim x → ∞ x . s e n 1 x .Avalie lim x → 0 x . s e n 1 x .Ilustre as partes (a) e (b) fazendo o gráfico dey = x . s e n 1 x .Seja f(x) = x / raiz(1 - cos(2x)) .Faça o gráfico de f. Que tipo de descontinuidade parece ocorrer em 0?Calcule os limites laterais de f em 0. Esses valores confirmam sua resposta para a parte?Derive:3) f (x) = s e n x + (1)/(2) cotg xDerive:10) y = sen(θ) . cos(θ)O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição t =t g x 2 converte qualquer função racional de s e n x e c o sx em uma função racional ordinária de t.Se t =t g x 2 ,- πxπVer TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre DerivadasLista de exercícios de Derivadas de Funções TrigonométricasVer exercício 2.1 - 4dVer exercício 7.6 - 1