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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 7

Seja g (x) = cosec x . Calcule.

a) g^' (x)

b) g^' ((pi)/(4))

Passo 1

a) A derivada de g pode ser calculada pelo limite:

g^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (g (x + h) - g (x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (cosec (x + h) - cosec x)/(h)

underset(h -> 0)(lim) (cosec (x + h) - cosec x)/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((1)/(sen (x + h)) - (1)/(sen x))/(h)

g^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (sen x - sen (x + h))/(h sen (x + h) sen x)

Se pelo seno da diferença temos sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a , então:

sen (x + h) = sen x cos h + sen h cos x

Assim:

g^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (sen x - sen x cos h - sen h cos x)/(h sen (x + h) sen x) = underset(h -> 0)(lim) (sen x (1 - cos h) - sen h cos x)/(h sen (x + h) sen x)

g^' (x) = underset(h -> 0)(lim) ((1 - cos h))/(h) * (sen x)/(sen (x + h) sen x) - underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h) * (cos x)/(sen (x + h) sen x)

Como underset(h -> 0)(lim) ((1 - cos h))/(h) = 0 e underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h) = 1 , temos:

g^' (x) = 0 - 1 * (cos x)/(sen (x + 0) sen x) = - (1)/(sen x) * (cos x)/(sen x) = - cosec x cotg x

Logo:

g^' (x) = - cosec x cotg x

Passo 2

b) g^' ((pi)/(4))

Se g^' (x) = - cosec x cotg x , então:

g^' ((pi)/(4)) = - cosec (pi)/(4) cotg (pi)/(4) = - (1)/(sen (pi)/(4)) * (cos (pi)/(4))/(sen (pi)/(4)) = - (1)/(((sqrt(2))/(2))) * (((sqrt(2))/(2)))/(((sqrt(2))/(2))) = - (2)/(sqrt(2))

Logo:

g^' ((pi)/(4)) = - sqrt(2)

Resposta

a)

g^' (x) = - cosec x cotg x

b) g^' ((pi)/(4)) = - sqrt(2)

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