Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 67

67- Encontre o limite calculando uma integral apropriada no intervalo [0,1]

Passo 1

Bom, o próprio exercício já nos da a dica de encarar essa soma como uma integral no intervalo [0,1], certo? Mas antes vamos pensar em como fazer isso.

Vamos lembrar a definição de integral:

Onde xn é um ponto do intervalo e é o tamanho de cada intervalo após fazer as divisões.

Existe uma correspondência entre somas infinitas e integrais, então vamos tentar fazer algo parecido. Primeiro vamos pegar o intervalo [0,1] e dividi-lo em n sub-intevalos de tamanho igual, da mesma forma que fizemos antes, assim teremos que a forma os intervalos serão da forma e o tamanho de cada intervalo será de .

Passo 2

Após fazer nossas escolhas, vamos ver como isso nos leva acorrespondencia citada acima. Como já dito, para cada pedacinho n do intervalo [0,1] nós devemos escolher um ponto xn , de forma que: . Note também que para o nosso tamanho do intervalo nós temos

Rearranjando e substituindo tudo na série que tinhamos no inicio, obtemos:

Passo 3

Agora que fizemos a correspondência e encontramos a integral, falta apenas calculá-la. Essa integral pode ser resolvida usando substituição simples e, depois disso, o teorema fundamental do cálculo. Fazendo :