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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 46

31-50. Calcule as integrais por qualquer método.

46. ∫ 1 2 x e - x 2 d x

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar o método de substituição simples, ok? A nossa integral é:

∫ 1 2 x e - x 2 d x

A substituição que iremos utilizar é:

u = e - x 2

Encontrando a relação entre d x e d u para podermos substituir na nossa integral original:

d u = - 2 x e - x 2 d x

∴ - 1 2 d u = x e - x 2 d x

Beleza, encontramos u e d u , certo? Substituindo os resultados na nossa integral teremos:

∫ 1 2 x e - x 2 d x = - 1 2 ∫ 1 2 d u

Show, agora que simplificamos ao máximo nossa integralzinha em termos de u , vamos resolver isso aí!

Passo 2

Resolvendo nossa integral, teremos:

- 1 2 ∫ 1 2 d u = - 1 2 u 2 1

- 1 2 ∫ 1 2 d u = - 1 2 e - x 2 2 1

Fazendo F b - F a , no qual a é o limite de integração inferior e b é o limite de integração superior, teremos:

- 1 2 ∫ 1 2 d u = - 1 2 e - 2 + 1 2 e - 1

∴ ∫ 1 2 x e - x 2 d x = 1 2 1 e - 1 e 2

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

∫ 1 2 x e - x 2 d x = 1 2 1 e - 1 e 2

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