Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 79
Se uma quantidade de dinheiro é investida à uma taxa de juros combinada vezes ao ano, o valor do investimento após anos será
Se deixarmos , nós teremos um juros composto contínuo. Utilize a Regra de l’Hôspital para mostrar que se o juros é composto contínuo, então teremos após anos uma quantidade de dinheiro igual a
Passo 1
Oiee, vamos resolver mais uma questão juntinhos?
Vamos usar fórmula para juros compostos é dada por:
Onde:
- é o valor do investimento após anos.
- é o valor inicial do investimento.
- é a taxa de juros anual (em decimal).
- é o número de vezes que os juros são compostos por ano.
- é o tempo em anos.
Quando deixamos tender ao infinito, isso representa juros compostos continuamente.
A propriedade utilizada foi a Propriedade do Limite Exponencial, que nos permite transformar o limite de uma função exponencial em um limite que envolve uma função logarítmica.
Começamos com a fórmula para juros compostos quando tende ao infinito e aplicamos a Propriedade do Limite Exponencial.
Para simplificar a expressão dentro do limite, aplicamos a Regra de L'Hôpital ao limite dentro do logaritmo.
Após as manipulações e a aplicação da Regra de L'Hôpital, chegamos à conclusão de que o valor do investimento após \( t \) anos, quando os juros são compostos continuamente, é dado por \( A = A_0 e^{rt} \).
A Propriedade do Limite Exponencial será usada porque nos permite transformar o limite de uma função exponencial em um limite que envolve uma função logarítmica, o que pode ser mais fácil de avaliar ou manipular, como foi o caso nesta questão.
Isso nos permitirá simplificar a expressão original e aplicar a Regra de L'Hôpital para encontrar o limite desejado.
Passo 2
Vamos analisar os dados dados pela questão:
Sabemos que é uma constante, pois a quantidade de dinheiro investida inicialmente não irá variar no tempo.
A taxa e o valor são definidos, portanto também são constantes.
A questão pede para mostrarmos que o valor de é igual a quando a partir da fórmula geral
Ou seja, a questão quer que a gente calcule
e que para isso devemos utilizar a Regra de l’Hôspital.
Como é uma constante, podemos reescrever o limite acima da seguinte forma
Passo 3
Primeiramente, vamos verificar se a Regra de l’Hôspital é apropriada.
Analisando o limite
vemos que temos uma situação com potência.
Quando isso acontece, podemos reescrever o limite da seguinte forma:
Utilizando as informações do enunciado, podemos chamar
Para que a Regra de l’Hôspital seja apropriada, devemos obter uma forma indeterminada do tipo , ou quando .
Na nossa questão, quando , nós temos que
Logo, nós obtemos a forma , comprovando que a Regra de l’Hôspital é aplicável.
Passo 4
Agora vamos encontrar este limite.
Como já sabemos que a Regra de l’Hôspital é aplicável, vamos utilizá-la para resolver este limite que vai ser sucesso!
Neste método temos que
O limite dado pelo enunciado não apresenta esta forma, porém podemos reescreve-lo de forma que atenda a este requisito. P
ode parecer complicado, mas ao fazer pequenas manipulações algébricas, conseguimos facilitar muito nosso problema.
Vamos dizer que
Passo 5
Como temos um caso com potência, aplicar o logarítimo em ambos os lados costuma ser uma boa ideia. Assim, obtemos
Agora vamos fazer mais uma manipulação para atender ao requisito da Regra:
Vamos chamar e . As derivadas dessas funções são
Passo 6
Substituindo esses valores, obtemos
Ainda não acabamos por aqui!
Até agora nós calculamos o limite de mas na verdade queremos o limite de .
Sabemos que
Logo, temos que
Passo 7
Substituindo esse valor no limite dado pelo enunciado, temos que
Nem foi tão dificil ein ?!
Portanto, para , temos que
Essa sim é a resposta que estávamos procurando.
Resposta
Vide o passo a passo.