Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 81
Algumas populações inicialmente crescem exponencialmente porém, eventualmente, o crescimento diminui. Equações da forma
onde e são constantes positivas, são chamadas de Equações Logísticas e são frequentemente usadas para moldar tais populações. Aqui é chamado de Capacidade de Carregamento e representa o maior tamanho de população que pode ser suportado, e , onde é a população inicial.
- Compute . Explique por que a sua resposta já era esperada.
- Compute . (note que é definido em termos de ). Qual tipo de função seu resultado apresenta?
Passo 1
Vamos analisar os dados dados pela questão:
Sabemos que é uma Equação Logística da forma
O enunciado nos dá as seguintes constantes:
: Capacidade de Carregamento (maior tamanho que a população atinge);
: população inicial;
: relação entre e
: não nos foi dado muits informações sobre , mas sabemos que é uma constante, o que já ajuda muito.
A variável , como na maioria das questões, representa o tempo.
A questão pede para que
- Encontrarmos e explicar por que nossa resposta já era esperada.
- Encontrarmos e dizer qual tipo de função nosso resultado apresenta (por exemplo: função exponencial, linear, logarítmica, hiperbólica...)
Passo 2
Vamos iniciar pela letra (a).
Temos que encontrar
Vamos aplicar nossas queridas manipulações algébricas para facilitar nossa resolução. Reescrevendo o limite acima, temos que
Como sabemos que e são constantes, quando temos que
Essa resposta era esperada? Era sim! Por que?
Como foi dito no enunciado, é o maior tamanho que a população pode ter, logo para um tempo que tende ao infinito, é esperado que a população atingirá esse tamanho máximo.
Passo 3
Em seguida vamos resolver a letra (b).
Temos que encontrar
Aqui não podemos esquecer que é uma função de dada por
Substituindo esse valor dentro do limite, chegamos em
Novamente, aplicando nossas queridas manipulações algébrica, podemos reescrever o limite acima como
E agora fica a pergunta: Como resolver isso?
A Regra de l’Hôspital parece uma boa saída já que o limite acima apresenta a seguinte forma
onde e .
Mas antes de sair resolvendo, vamos verificar se a Regra de l’Hôspital é apropriada. Para ser apropriada, devemos obter uma forma indeterminada do tipo ou quando .
Quando , nós temos que
Neste caso, obtemos a forma , logo a Regra de l’Hôspital é aplicável.
Agora vamos aplicá-la para resolver este limite que vai ser sucesso!
Neste método temos que
Chamamos e . As derivadas dessas funções são
Substituindo esses valores, obtemos
Logo, a resposta é
E nossa função é uma função exponencial.
Resposta
- ; função exponencial.