Enunciado

Encontre o valor exato de cada expressão.

log 10 ⁡ 40 + log 10 ⁡ 2,5

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a expressão logarítmica

log 10 ⁡ 40 + log 10 ⁡ 2,5

E nosso objetivo é determinar o valor exato dessa expressão.

Parece complicado, não é?

Para resolver esse problema temos que aplicar algumas propriedades logarítmicas e exponenciais para podermos simplificar a expressão e determinar um resultado.

Veja só!

Passo 2

Perceba que ambos os logaritmos tem a mesma base, dessa forma podemos aplicar a identidade do produto do logaritmo, que diz que:

log b ⁡ x + log b ⁡ y = log b ⁡ x y

Podemos usar este conceito na equação de cima:

log 10 ⁡ 40 + log 10 ⁡ 2,5 = log 10 ⁡ ( 40 · 2,5 ) = log 10 ⁡ 100

Podemos escrever 100 como potência de 10:

100 = 10 2

Substituindo no logaritmo, temos

log 10 ⁡ 100 = log 10 ⁡ 10 2

Fizemos isso pois pela identidade da potência do logaritmo, que diz que:

log b ⁡ x y = y   log b ⁡ x

Podemos usar esse conceito acima:

log 10 ⁡ 10 2 = 2 log 10 ⁡ 10

Pela definição log a ⁡ a = 1 , então:

2 log 10 ⁡ 10 = 2 1

Logo, o valor exato da nossa expressão é dado por

log 10 ⁡ 40 + log 10 ⁡ 2,5 = 2

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

log 10 ⁡ 40 + log 10 ⁡ 2,5 = 2

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