Encontre o nível de produção no qual a função custo marginal começa a crescer.

C(x) = 0,001 * x^3 - 0,3 * x^2 + 6 * x + 900

Passo 1

Fala aí, tudo bem com você?

Bom, essa questão dá pra gente a função custo como sendo:

C x = 0,001 x 3 - 0,3 x 2 + 6 x + 900

E teremos que dizer o nível de produção que faz como que essa função custo marginal comece a crescer.

Para responder a esse tipo de questão podemos lembrar que a função custo marginal é a derivada do custo total C ( x ) .

E como queremos saber onde o custo marginal começa a crescer, podemos derivar a função custo marginal e ver onde ela tem valor mínimo, pois a partir daí a função voltará a crescer.

Então, pera! Vamos organizar as ideias.

Vamos primeiro achar a função custo marginal fazendo:

C ' x

Depois vamos derivar novamente para encontrar o valor de x que faz essa função começar a crescer.

C ' ' x > 0

Então vamos lá.

Passo 2

Derivando a função, temos que:

C x = 0,001 x 3 - 0,3 x 2 + 6 x + 900

E usando a regra do expoente em cada um dos termos, ficamos com:

C ' x = 0,003 x 2 - 0,6 x + 6

Para analizar o crescimento ou decrescimento do custo marginal C ' ( x ) , devemos olhar para a derivada dele, que é a segunda derivada de C ( x ) .

Passo 3

Derivando o custo marginal, temos:

C ' x = 0,003 x 2 - 0,6 x + 6

E aplicando a regra do expoente novamente, teremos:

C ' ' x = 0,006 x - 0,6

Repara que, esse valor é negativo para x = 0 , então a função C ' ( x ) começa decrescente.

Ela passa a crescer quando C ' ' ( x ) se torna positiva. Isso acontece depois que C ' ' x = 0 :

0,006 x - 0,6 = 0

0,006 x = 0,6

x = 0,6 0,006 = 100

Então temos C ' ' x > 0 para x > 100 , e esse é o valor de x a partir do qual o custo marginal C ' ( x ) cresce.

Resposta

A partir de 100 unidades produzidas.

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