Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.8 - Ex. 15

Encontre o nível de produção no qual a função custo marginal começa a crescer.

Passo 1

Fala aí, tudo bem com você?

Bom, essa questão dá pra gente a função custo como sendo:

E teremos que dizer o nível de produção que faz como que essa função custo marginal comece a crescer.

Para responder a esse tipo de questão podemos lembrar que a função custo marginal é a derivada do custo total .

E como queremos saber onde o custo marginal começa a crescer, podemos derivar a função custo marginal e ver onde ela tem valor mínimo, pois a partir daí a função voltará a crescer.

Então, pera! Vamos organizar as ideias.

Vamos primeiro achar a função custo marginal fazendo:

Depois vamos derivar novamente para encontrar o valor de que faz essa função começar a crescer.

Então vamos lá.

Passo 2

Derivando a função, temos que:

E usando a regra do expoente em cada um dos termos, ficamos com:

Para analizar o crescimento ou decrescimento do custo marginal , devemos olhar para a derivada dele, que é a segunda derivada de .

Passo 3

Derivando o custo marginal, temos:

E aplicando a regra do expoente novamente, teremos:

Repara que, esse valor é negativo para , então a função começa decrescente.

Ela passa a crescer quando se torna positiva. Isso acontece depois que :

Então temos para , e esse é o valor de a partir do qual o custo marginal cresce.

Resposta

A partir de 100 unidades produzidas.

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