Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.8 - Ex. 11
Para a função custo e demanda dada, encontre o nível de produção que maximizará o lucro.
Passo 1
Olá, meu amigo. Hoje estarei te ajudando a resolver essa atividade de otimização.
Para isso queremos os máximos da função, e como achamos isso? Derivando e igualando a derivada a . Isso nos mostrará qual o valor de para que a nossa função tenha o valor máximo ou o mínimo, conforme pede o exercício. Lembrando que concavidade para baixo nos dá um máximo, e concavidade para cima nos dá um mínimo.
E em seguida aplicamos a segunda derivada para de fato verificar se temos o lucro máximo, ele deve acontecer quando:
Nossa função dada pelo enunciado é:
Pronto? Bóra lá!
Passo 2
Aqui iremos utilizar nossos conhecimentos financeiros e de derivadas para encontrarmos o que se pede.
A função lucro é dada pela diferença entre a receita total e o lucro total:
Onde:
é a função lucro
é a função receita
é a função custo
Pensa comigo: o lucro é a receita menos os custos.
Vamos derivar a função e igualar a para encontrar todos os máximos e mínimos dela.
Temos então:
Isso significa que a receita marginal e devem ser iguais. Para que o ponto seja de fato um máximo, sabemos que devemos ter também uma concavidade para baixo, ou seja, a segunda derivada do lucro deve ser negativa. Então:
Satisfazendo então essas duas condições, teremos o lucro maximizado.
Passo 3
O enunciado nos dá a função custo total e o preço por item . A receita total é o preço por item vezes a quantidade vendida:
Para cumprir a primeira condição, derivamos as funções e igualamos:
Derivando
Derivando
Igualando as duas derivadas que acabamos de fazer:
Assim, encontramos o valor de .
Passo 4
Devemos cumprir a segunda condição para que esse seja de fato o lucro máximo. Derivando novamente as duas funções:
Podemos ver que temos de fato:
Então maximiza o lucro.