Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 75
Qual a aceleração necessária para aumentar a velocidade de um carro a 30 mi/h para 50mi/h em 5 s?
Passo 1
Fala meu povo.Nessa questão queremos saber a aceleração necessária para aumentar a velocidade de um carro.
Sabemos que a velocidade inicial é
E a final é
E queremos que essa mudança de velocidade ocorra em .
Como a velocidade está em milha por hora e o tempo em segundo, vamos precisar converter.
Dessa forma teremos:
Se temos uma aceleração constante e o sentido de movimento do carro for positivo, então a função da aceleração, que é a segunda derivada da posição, é dada em pés/s²:
Como a aceleração é a segunda derivada da posição , podemos aplicar a antiderivada para encontrar a função da velocidade, que é a primeira derivada de . Tendo então a função da velocidade , aplicamos as condições dadas no enunciado: e , resolvendo assim o problema.
A antiderivada é uma função que quando derivamos resulta em :
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de é:
onde é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a não muda em nada sua derivada.
Aqui vamos usar as seguintes regras de antiderivada com relação a variável .
A antiderivada da constante:
E a antiderivada do polinômio:
Passo 2
Encontramos então a antiderivada da aceleração para encontrar a função da velocidade, temos:
Como a aceleração é um valor constante, teremos então:
Aplicando a condição inicial encontramos o valor da constante :
Agora aplicando a condição final, , podemos achar o valor de :