Encontre os números críticos da função:

g(x) = x^(1/3) - x^(-2/3)

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que encontrar os pontos críticos da função:

g x = x 1 3 - x - 2 3

Lembra como fazemos isso?

Por definição, x = c é um ponto critico de g x se

  • g ' c = 0 .
  • g ' c não é definida mas g c é (se g c existe mas g ' c não existe).

Então o que temos que fazer é verificar essas definições a partir da derivada de g ...

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar derivando g pela regra da potencia...

g x = x 1 3 - x - 2 3 → g ' x = 1 3 x - 2 3 + 2 3 x - 5 3

g ' x = 1 3 x - 2 3 ( 1 + 2 x - 1 )

Simplificando...

g ' x = 1 + 2 x - 1 3 x 2 3

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora, igualando a zero, temos

1 + 2 x - 1 3 x 2 3 = 0

O denominador nunca pode ser igual a zero e o numerador deve ser igual a zero! Então:

1 + 2 x = 0

2 x = - 1

- x = 2

x = - 2

Então x = - 2 é um ponto crítico de g .

Agora temos que verificar se existe um ponto em g que não existe em g ' .

Como g ' é uma fração de funções polinomiais, g ' não vai existir se seu denominador for igual a 0 :

3 x 2 3 = 0

x 2 3 = 0

x = 0

Agora verificamos se g 0 existe...

g x = x 1 3 - x - 2 3 → g 0 = 0 1 3 - 0 - 2 3

Perceba que o segundo termo 0 - 2 3 gera uma indefinição em g , logo, g 0 tambem não existe e podemos descartar x = 0 como ponto crítico.

Portanto, - 2 é o ponto crítico de g .

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

x = - 2

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