Enunciado

O gráfico de f é dado. Indique os números nos quais f não é diferenciável.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente indicar os números nos quais a função f , que é representada no gráfico, não é diferenciável.

Mas como uma função pode não ser diferenciável? Em geral, se o gráfico de uma função tiver uma “quina” ou uma “dobra”, então o gráfico de f não terá tangente nesse ponto e f não será diferenciável ali. Além disso, se tentarmos calcular os limites à esquerda e a à direita nesse ponto, esses limites serão diferentes.

Uma outra forma de uma função deixar de ter uma derivada em um ponto é se ela não for contínua nesse ponto, então f não será diferenciável nesse ponto.

E uma terceira possibilidade surge quando a curva tem uma reta tangente vertical no ponto que queremos calcular a derivada. Nesse caso a função também não será diferenciável no ponto, porque a medida que x se aproxima do ponto, a derivada da função tende pra infinito, ou seja, a reta tangente vai ficando cada vez mais íngreme.

Olha só a ilustração de exemplos desses três casos:

Então, são esses pontos que nós vamos procurar e tentar identificar no gráfico que o enunciado nos deu.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos analisar o gráfico da nossa função:

Olhando ali no ponto x = - 1 , a gente percebe que existe uma reta tangente vertical naquele ponto. Olha só como a curva tá retinha ali:

Isso recai em um dos casos que vimos no passo 1 . Então, a função não é diferenciável em x = - 1 .

Além disso, repare que ali em x = 4 temos um pico ou uma “dobra” na curva da função. Isso também indica que a função não é diferenciável em x = 4 , conforme vimos no passo anterior.

Portanto, temos os seguintes pontos onde a função f não é diferenciável:

x = - 1 ;   x = 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x = - 1 ;   x = 4

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Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t ≤ x - t 2 Calcule f ' x .
Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .
Suponha f derivável no intervalo I . Prove que se f for estritamente crescente em I , então f ' x ≥ 0 em I .
Suponha f derivável em a ,b e tal que f ' a ∙ f ' b0 . Prove que existe p em ] a ,b [ tal que f x ≤ f p para todo x em a ,b ou f x ≥ f p para todo x em a ,b . Interprete geometricamente.
Suponha f derivável em a ,b tal que f ' a ∙ f ' b0 e f a = f b . Prove que existem x 1 ,x 2 ∈] a ,b [ tais que, para todo x em ] a ,b [ , f x 1 ≤ f x ≤ f x 2 . Interprete geometricamente.