Nos Exercícios de 1 a 26, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

8) G(x) = (x + 2)^3

Passo 1

Para começar precisamos determinar quais são os pontos críticos da função. Esses pontos são os valores de x para os quais f ' ( x ) é igual a 0 ou para os quais f ' ( x ) não existe. Já para achar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, precisamos achar os valores de x para os quais f ' ' ( x ) seja igual a 0 ou para os quais f ' ' ( x ) não existe.

Derivando a função:

G x = x + 2 3

G ' x = 3 x + 2 2  

G ' ' x = 6 ( x + 2 )

Achando os pontos críticos:

G ' x = 3 x + 2 2 = 0

x = - 2

Para achar os pontos de inflexão, a derivada segunda deve ser igual a 0:

G ' ' x = 6 ( x + 2 ) = 0

x = - 2

Passo 2

Usando o teste da derivada segunda:

Pela tabela, podemos ver que f ' ' - 2 = 0 , então não podemos analisar com relação a derivada segunda. Analisando a derivada primeira, o gráfico é crescente para todos os valores de x , ou seja, não é extremo relativo. Para o ponto de inflexão, a derivada segunda é negativa para valores menores que -2, concavidade para baixo, e positiva para os valores maiores de x, concavidade para cima, indicando que x = - 2 é o ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Não há Extremo Relativo: ;

Ponto de inflexão: x = - 2 ;

O gráfico possui concavidade para baixo para: x < - 2 ;

O gráfico possui concavidade para cima para: x > - 2 .

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