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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.1 - Ex. 31

Encontre uma parametrização para o segmento de reta que une os pontos ( 0,2 ) e ( 4,0 ) utilizando o ângulo θ na figura a seguir como parâmetro.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Da figura do enunciado, podemos escrever

tan ⁡ θ = y x

Portanto,

y = x ∙ tan ⁡ θ     ( 1 )

A equação da linha que une (0,2) e (4,0) é

y - 0 x - 4 = 2 - 0 0 - 4

Desenvolvendo os termos

y x - 4 = - 1 2 → y = - 1 2 x - 4

Portanto,

y = - 1 2 x + 2   ( 2 )

Passo 2

Usando ( 1 ) para substituir y = x ∙ tan ⁡ θ em ( 2 )

x ∙ tan ⁡ θ = - 1 2 x + 2

Colocando o x em evidência

x tan ⁡ θ + 1 2 = 2

E com isso,

x = 2 tan ⁡ θ + 1 2

Multiplicando o numerador e o denominador por 2

x = 4 2 tan ⁡ θ + 1

Passo 3

Substitua esta expressão por x na Equação 2

y = - 1 2 ∙ 4 2 ∙ tan ⁡ θ + 1 + 2

Desenvolvendo os termos

y = - 2 2 tan ⁡ θ + 1 + 2 = - 2 + 4 tan ⁡ θ + 2 2 tan ⁡ θ + 1

Portanto, nós temos que

y = 4 tan ⁡ θ 2 tan ⁡ θ + 1

Da figura podemos ver que 0 ≤ θ < π / 2 , mas vamos excluir θ = π / 2 ​, porque torna tan ⁡ θ indefinido.

Resposta

x = 4 2 tan ⁡ θ + 1 ,   y = 4 tan ⁡ θ 2 tan ⁡ θ + 1 ,     0 ≤ θ < π / 2

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