Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.1 - Ex. 38
Trocoides - Uma roda de raio a rola ao longo de uma reta horizontal sem deslizar. Encontre equações paramétricas para a curva traçada por um ponto P em um raio da roda a b unidades de seu centro. Como parâmetro, utilize o ângulo u através do qual a roda gira. A curva é chamada de trocoide, que é uma cicloide quando .
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
O objetivo deste exercício é usar a descrição textual do trocóide para encontrar as equações paramétricas desta curva. Uma informação chave que podemos usar é que a ciclóide é um caso especial da trocóide. Isso pode nos ajudar a visualizá-lo melhor e talvez possamos usar uma abordagem semelhante.
Primeiro, vamos tentar estabelecer alguns limites para e . Como a roda continua girando no sentido positivo do eixo horizontal, esperamos que continue aumentando. No entanto, a coordenada vertical dos pontos da curva será limitada pelo fato de que os pontos da curva podem desviar verticalmente no máximo por unidades do centro da roda, cujo raio é . Portanto, o valor da coordenada será no máximo e no mínimo .
Passo 2
Agora que essas considerações básicas estão fora do caminho, passamos a uma análise mais precisa. Seja um ponto no trocóide. Como mencionado, denota o ângulo pelo qual a roda gira (quando derivamos as equações para a cicloide, denotamos esse ângulo por ). Se é o centro da roda, suas coordenadas serão
O ponto está a uma distância de unidades de . Se colocarmos uma linha passando por que é paralela ao eixo , e uma linha passando por que é paralela ao eixo y, elas se interceptarão em algum ponto , e o triângulo é um triângulo retângulo cuja hipotenusa é , cujo comprimento é . Seja α o ângulo desse triângulo cujo vértice é .
Sabendo que (no caso da ciclóide, temos uma notação diferente, os ângulos em questão eram e , com isso, ).
Se conseguirmos expressar o comprimento dos catetes em termos de (e prestar atenção às suas direções, para que alguns sinais de menos possam ocorrer) nosso trabalho está feito, pois adicionaremos esses comprimentos às coordenadas do centro para obter as coordenadas de P.
Passo 3
Das definições das funções trigonométricas, temos que
Com isso, nós obtemos que
é o que precisamos adicionar à coordenada x de C para obter a coordenada de , e é o que precisamos adicionar à coordenada de para obter a coordenada de .
Concluímos que para um ponto arbitrário no trocóide
Agora, resta apenas expressar e em termos de funções trigonométricas de .
Como obtemos
Por fim, concluímos que as equações paramétricas do trocóide são: