Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.3 - Ex. 62
Encontre os pontos da curva dada onde a linha tangente é horizontal ou vertical.
Passo 1
Falaee, tudo certinho??? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação polar:
Queremos encontrar os pontos da curva onde a linha tangente é horizontal ou vertical.
Para encontrarmos a tangente, a gente sabe que precisamos encontrar a seguinte derivada:
Mas calma... queremos os pontos da tangente vertical e os pontos da tangente horizontal. Como encontramos isso??
É simples!! A tangente vertical acontecerá quando o numerador de for igual a zero e a tangente será horizontal quando o denominador for igual a zero!!
Agora que a genten sabe disso, bora aplicar!! 😉
Passo 2
Vamos primeiro encontrar .
Para isso, vamos derivar :
A derivada da constante é zero e a derivada do seno é o cosseno, portanto:
Passo 3
Agora vamos encontrar o valor de . Lembrando que:
Substituindo e , temos:
Realizando as multiplicações:
Aplicando as simplificações trigonométricas :
Passo 4
Pessoal, nós vamos ter uma reta tangente horizontal quando o numerador de for igual a zero. Vamos descobrir os valores de para essa situação!
Essa equação tem dois jeitos de ser igual a zero. O primeiro deles é ser igual a zero. Assim,
ou
O outro modo é ser igual a zero. Logo,
ou
Passo 5
Agora, nós vamos ter uma reta tangente vertical quando o denominador de for igual a zero. Vamos descobrir os valores de para essa situação!
Essa equação tem dois jeitos de ser igual a zero. O primeiro deles é ser igual a zero. Assim,
ou
O outro modo é ser igual a zero. Logo,
Passo 6
Pessoal, notemos que ambos numerador e denominador são iguais a zero quando , o que nos leva a ter e não há linha tangente nesse ponto.
Usando a regra de L’Hospital para verificarmos os limites laterais, temos:
Fatorando o numerador e o denominador, temos:
Assim, podemos aplicar o limite da seguinte forma:
O limite da esquerda vale , portanto:
O tende a infinito quando e, portanto, muito maior que . Dessa forma, podemos dizer que:
Fazendo o limite lateral esquerdo, teremos:
De forma análoga, através do limite lateral direito a gente vai ter:
Note que os limites laterais tiveram resultados diferentes. Nesse sentido, não á continuidade nesse ponto e, portanto, o limite não existe.
Passo 7
Nós descobrimos que quando temos nós temos retas tangentes horizontais e quando temos retas verticais. Vamos substituir esses valores na curva que nos foi dada lá no enunciado!
Como o seno de é igual ao seno de , temos:
Da mesma forma, o seno de é igual ao de . Logo,
Os pontos são:
Quando ,
Logo, temos o ponto:
Quando ,
Assim, temos o ponto:
Resposta
Os pontos onde a reta tangente é horizontal são:
Os pontos onde a reta tangente é vertical são: