Encontre os pontos da curva dada onde a linha tangente é horizontal ou vertical.

Vamos primeiro encontrar .

Para isso, vamos derivar :

A derivada da constante é zero e a derivada do seno é o cosseno, portanto:

Agora vamos encontrar o valor de . Lembrando que:

Substituindo e , temos:

Realizando as multiplicações:

Aplicando as simplificações trigonométricas :

Pessoal, nós vamos ter uma reta tangente horizontal quando o numerador de for igual a zero. Vamos descobrir os valores de para essa situação!

Essa equação tem dois jeitos de ser igual a zero. O primeiro deles é ser igual a zero. Assim,

ou

O outro modo é ser igual a zero. Logo,

ou

Agora, nós vamos ter uma reta tangente vertical quando o denominador de for igual a zero. Vamos descobrir os valores de para essa situação!

Essa equação tem dois jeitos de ser igual a zero. O primeiro deles é ser igual a zero. Assim,

ou

O outro modo é ser igual a zero. Logo,

Pessoal, notemos que ambos numerador e denominador são iguais a zero quando , o que nos leva a ter e não há linha tangente nesse ponto.

Usando a regra de L’Hospital para verificarmos os limites laterais, temos:

Fatorando o numerador e o denominador, temos:

Assim, podemos aplicar o limite da seguinte forma:

O limite da esquerda vale , portanto:

O tende a infinito quando e, portanto, muito maior que . Dessa forma, podemos dizer que:

Fazendo o limite lateral esquerdo, teremos:

De forma análoga, através do limite lateral direito a gente vai ter:

Note que os limites laterais tiveram resultados diferentes. Nesse sentido, não á continuidade nesse ponto e, portanto, o limite não existe.

Nós descobrimos que quando temos nós temos retas tangentes horizontais e quando temos retas verticais. Vamos substituir esses valores na curva que nos foi dada lá no enunciado!

Como o seno de é igual ao seno de , temos:

Da mesma forma, o seno de é igual ao de . Logo,

Os pontos são:

Quando ,

Logo, temos o ponto:

Quando ,

Assim, temos o ponto: