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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 36

Encontre a equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

Parábola, eixo vertical, passando por 0,4 , 1,3 e - 2 , - 6 .

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que encontrar a equação da parábola vertical que passa pelos pontos: 0,4 , 1,3 e - 2 , - 6 .

Tem ideia de como fazemos isso?

Para responder essa questão temos que lembrar da equação genérica da parábola que é dada por:

y = a x 2 + b x + c

E a partir dessa equação podemos montar um sistema de equações a partir dos valores dos pontos dados e assim determinar a , b e c .

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Para o ponto 0,4 substituimos x = 0 e y = 4 na equação da parábola, ou seja:

y = a x 2 + b x + c → 4 = a 0 2 + b 0 + c

c = 4

Com isso já conseguimos encontrar a primeira constante...

Para o ponto 1,3 , temos:

y = a x 2 + b x + c → 3 = a 1 2 + b 1 + 4

a + b = - 1

E para o ponto - 2 , - 6 , temos:

y = a x 2 + b x + c → - 6 = a - 2 2 + b - 2 + 4

4 a - 2 b = - 10

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Bom... temos duas equações e duas incógnitas. Com isso podemos montrar um sistema como:

a + b = - 1 4 a - 2 b = - 10

Isolando b na primeira equação e substituindo na segunda, temos:

b = - 1 - a → 4 a - 2 - 1 - a = - 10

4 a + 2 + 2 a = - 10

6 a = - 12

a = - 2

Substituindo o valor de a em b = - 1 - a , vamos obter:

b = - 1 - - 2

b = 1

Encontramos a = - 2 , b = 1 e c = 4 ... substituído na equação genérica da parábola, temos:

y = a x 2 + b x + c

y = - 2 x 2 + x + 4

Show?

Passo 4

Vamos tentar colocar a equação da parábola na seguinte forma x - h 2 = 4 p y - k .

y = - 2 x 2 + x + 4

Passando os termos em x para um lado...

2 x 2 - x = - y + 4

2 x 2 - 1 2 x = - y + 4

Vamos completar quadrado no termo x 2 - 1 2 x .

2 x 2 - 1 2 x + - 1 2 2 2 = - y + 4 + 2 - 1 2 2 2

2 x 2 - 1 2 x + 1 16 = - y + 4 + 1 8

Simplificando...

2 x - 1 4 2 = - y - 33 8

Escrevendo na forma: x - h 2 = 4 p y - k .

x - 1 4 2 = - 1 2 y - 33 8

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

A equação da cônica é:

x - 1 4 2 = - 1 2 y - 33 8

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