Enunciado

Encontre os pontos da curva dada onde a linha tangente é horizontal ou vertical.

r = e θ

Passo 1

Olá, meu querido amigo. A gente tem a seguinte curva:

r = e θ

E a gente quer saber os pontos tangentes a essa curva, que são horizontais ou verticais. Alguns pontos importantes sobre estarmos trabalhando em coordenadas polares, é que:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

E para que a linha seja tangente horizontal, a gente precisa que:

d y d θ = 0

E ao mesmo tempo:

d x d θ ≠ 0

Já para que a linha seja tangente vertical:

d x d θ = 0

E ao mesmo tempo:

d y d θ ≠ 0

Então você já sabe, teremos que derivar aqui. Mas para fazermos isso, deveremos utilizar a regra da cadeia:

d y d x = d y d θ ⋅ d θ d x = d y d θ d x d θ

Então veja que temos aqui o quociente dos 2 termos que precisamos zerar em momentos corretos.

Passo 2

Galerinha, a primeira coisa que precisamos fazer é encontrar o valor de d y d x . Assim, substituindo:

r = e θ

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

E aplicando a regra do produto:

d u v d x = u v ' + u ' v

Temos então:

d y d x = d r d θ sen ⁡ θ + r c o s   θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Como r = e θ

A gente vai ter:

d y d x = e θ sen ⁡ θ + e θ cos ⁡ θ e θ cos ⁡ θ - e θ sen ⁡ θ

d y d x = e θ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ e θ cos ⁡ θ - sen ⁡ θ

d y d x = sen ⁡ θ + cos ⁡ θ cos ⁡ θ - sen ⁡ θ

Passo 3

Pessoal, nós vamos ter uma reta tangente horizontal quando o numerador de d y d x for igual a zero. Vamos descobrir os valores de θ para essa situação!

sen ⁡ θ + cos ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ = - sen ⁡ θ

θ = 3 π 4 + n π

Agora, nós vamos ter uma reta tangente vertical quando o denominador de d y d x for igual a zero. Vamos descobrir os valores de θ para essa situação!

- sen ⁡ θ + cos ⁡ θ = 0

sen ⁡ θ = cos ⁡ θ

θ = π 4 + n π

Passo 4

Nós descobrimos que quando temos θ = 3 π 4 + n π nós temos retas tangentes horizontais e quando θ = π 4 + n π temos retas verticais. Vamos substituir esses valores na curva que nos foi dada lá no enunciado!

r = e θ

Com θ = 3 π 4 + n π ,

r = e 3 π 4 + n π   → e 3 π 4 + n π ,   3 π 4 + n π

Da mesma forma, para θ = π 4 + n π

r = e π 4 + n π → e π 4 + n π ,   π 4 + n π

Resposta

Os pontos onde a reta tangente é horizontal são:

e 3 π 4 + n π ,   3 π 4 + n π

Os pontos onde a reta tangente é vertical são:

e π 4 + n π ,   π 4 + n π

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Identifique as simetrias das curvas nos Exercícios 1-12. Em seguida, esboce as curvas. r = 1 + 2 sen ⁡ θ
Identifique as simetrias das curvas nos Exercícios 1-12. Em seguida, esboce as curvas. r 2 = - sen ⁡ θ
Identifique as simetrias das curvas nos Exercícios 1-12. Em seguida, esboce as curvas. r = sen ⁡ ( θ / 2 )
Identifique as simetrias das curvas nos Exercícios 1-12. Em seguida, esboce as curvas. r 2 = sen ⁡ θ
Identifique as simetrias das curvas nos Exercícios 1-12. Em seguida, esboce as curvas. r = cos ⁡ ( θ / 2 )