Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.3 - Ex. 64
Encontre os pontos da curva dada onde a linha tangente é horizontal ou vertical.
Passo 1
Olá, meu querido amigo. A gente tem a seguinte curva:
E a gente quer saber os pontos tangentes a essa curva, que são horizontais ou verticais. Alguns pontos importantes sobre estarmos trabalhando em coordenadas polares, é que:
E para que a linha seja tangente horizontal, a gente precisa que:
E ao mesmo tempo:
Já para que a linha seja tangente vertical:
E ao mesmo tempo:
Então você já sabe, teremos que derivar aqui. Mas para fazermos isso, deveremos utilizar a regra da cadeia:
Então veja que temos aqui o quociente dos 2 termos que precisamos zerar em momentos corretos.
Passo 2
Galerinha, a primeira coisa que precisamos fazer é encontrar o valor de . Assim, substituindo:
E aplicando a regra do produto:
Temos então:
Como
A gente vai ter:
Passo 3
Pessoal, nós vamos ter uma reta tangente horizontal quando o numerador de for igual a zero. Vamos descobrir os valores de para essa situação!
Agora, nós vamos ter uma reta tangente vertical quando o denominador de for igual a zero. Vamos descobrir os valores de para essa situação!
Passo 4
Nós descobrimos que quando temos nós temos retas tangentes horizontais e quando temos retas verticais. Vamos substituir esses valores na curva que nos foi dada lá no enunciado!
Com ,
Da mesma forma, para
Resposta
Os pontos onde a reta tangente é horizontal são:
Os pontos onde a reta tangente é vertical são: