Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.3 - Ex. 64

Encontre os pontos da curva dada onde a linha tangente é horizontal ou vertical.

Passo 1

Olá, meu querido amigo. A gente tem a seguinte curva:

E a gente quer saber os pontos tangentes a essa curva, que são horizontais ou verticais. Alguns pontos importantes sobre estarmos trabalhando em coordenadas polares, é que:

E para que a linha seja tangente horizontal, a gente precisa que:

E ao mesmo tempo:

Já para que a linha seja tangente vertical:

E ao mesmo tempo:

Então você já sabe, teremos que derivar aqui. Mas para fazermos isso, deveremos utilizar a regra da cadeia:

Então veja que temos aqui o quociente dos 2 termos que precisamos zerar em momentos corretos.

Passo 2

Galerinha, a primeira coisa que precisamos fazer é encontrar o valor de . Assim, substituindo:

E aplicando a regra do produto:

Temos então:

Como

A gente vai ter:

Passo 3

Pessoal, nós vamos ter uma reta tangente horizontal quando o numerador de for igual a zero. Vamos descobrir os valores de para essa situação!

Agora, nós vamos ter uma reta tangente vertical quando o denominador de for igual a zero. Vamos descobrir os valores de para essa situação!

Passo 4

Nós descobrimos que quando temos nós temos retas tangentes horizontais e quando temos retas verticais. Vamos substituir esses valores na curva que nos foi dada lá no enunciado!