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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 37

Use qualquer teste para determinar se uma série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ - 1 n arctan ⁡ n n 2

Passo 1

Fala, turma! Tranquilo?

Pessoal, uma série ∑ a n é dita absolutamente convergente se ∑ | a n | for convergente. Portanto, a nossa série será absolutamente convergente se a série a seguir for convergente

∑ n = 1 ∞ - 1 n arctan ⁡ n n 2 = ∑ n = 1 ∞ arctan ⁡ n n 2

Vejo que o termo - 1 n torna alguns termos da série negativos dependendo do valor de n , por isso o módulo elimina esse termo, já que ele só admite termos positivos.

Bom, então precisamos achar a convergência da série acima e a questão deixou à nossa escolha qual método usar. Vamos aplicar o teste de comparação de limite: supondo ∑ a n   e ∑ b n séries com termos positivos. Se:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = c

E c > 0 , ambas as séries convergem ou ambas divergem.

Partiu solução!

Passo 2

Usando o teste com:

a n = arctan ⁡ n n 2

E vamos escolher como b n alguma série que seja parecida com nossa a n e que nós conhecemos o comportamento. Vamos escolher a série-p com p = 2 > 1 , portanto, b n converge.

b n = 1 n 2

Assim, ficamos com:

lim n → ∞ ⁡ arctan ⁡ n n 2 1 n 2

Dividindo as frações multiplicando a primeira pelo inverso da segunda:

lim n → ∞ ⁡ arctan ⁡ n n 2 1 n 2 = lim n → ∞ ⁡ arctan ⁡ n ⋅ n 2 n 2 = lim n → ∞ ⁡ arctan ⁡ n

Quando n vai para o infinito, arctan ⁡ n se aproxima de um valor fixo. Esse valor fixo é π 2 radianos, ou 90 graus. Isso acontece porque a tangente de 90 graus é indefinidamente grande (vai para o infinito).

lim n → ∞ ⁡ arctan ⁡ n = π 2

Pelo teste de comparação de limite, como a série ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 converge, logo a série ∑ n = 1 ∞ arctan ⁡ n n 2 também converge. Logo, ∑ n = 1 ∞ - 1 n arctan ⁡ n n 2 é absolutamente convergente!

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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