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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.5 - Ex. 2

Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente ao gráfico nos pontos de inflexão.

g x = x 3 - 3 x 2 + 7 x - 3

Passo 1

Para analisarmos a concavidade, temos que achar a segunda derivada.

A nossa função é:

g x = x 3 - 3 x 2 + 7 x - 3

Derivando:

g ' x = 3 x 2 - 6 x + 7

Agora vamos para a segunda derivada:

g ' ' x = 6 x - 6

Para anaisar a concavidade, temos que olhar o sinal dessa segunda derivada.

Passo 2

g ' ' x = 6 x - 6

Quando a segunda derivada for positiva, ela será côncava para cima.

Quando a segunda derivada for negativa, ela será côncava para baixo.

g ' ' x > 0 → c o n c a v a   p a r a   c i m a

g ' ' x < 0 → c o n c a v a   p a r a   b a i x o

Vamos analisar quando essa derivada é positiva:

6 x - 6 > 0 → 6 x > 6 → x > 1

E ela vai ser negativa:

6 x - 6 < 0 → 6 x < 6 → x < 1

Então vamos ter:

g ' ' x > 0 ⟷ x > 1

g ' ' x < 0 ⟷ x < 1

Fazendo a classificação de concavidade:

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x > 1

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟷ x < 1

Passo 3

Agora vamos analisar os pontos de inflexão.

Para termos ponto de inflexão, devemos ter mudança de concavidade da nossa função.

Isso acontece em x = 1 , logo ele é ponto de inflexão.

Passo 4

Vamos achar a inclinação da reta tangente no ponto dfe inflexão e fazer o esboço do gráfico

g ' 1 = 3 1 2 - 6 1 + 7 = 4

Assim ela vai ter uma inclinação 9 , vamos ver o gráfico.

A função está em verde e a tangente em laranja

Resposta

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x > 1

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟷ x < 1

x = 1 → p o n t o   d e   i n f l e x ã o

g ' 1 = 4

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