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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 44

Se f x = a x 3 + b x 2 , determine a e b de tal forma que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em ( 2 ,   16 ) .

Passo 1

Pela regra de derivação temos:

f ' x = 3 a x 2 + 2 b x

E pelas derivadas sucessivas:

f ' ' x = 6 a x + 2 b

Passo 2

Como queremos que o ponto de inflexão ocorra em ( 2 ,   16 ) temos as seguintes equações:

→ 16 = 8 a + 4 b ; (1)

→ 0 = 12 a + 2 b . (2)

Multiplicando (2) por menos dois e somando a (1) temos:

16 - 0 = 8 a - 24 a + 4 b - 4 b ⇒

16 = - 16 a ⇒

16 - 16 = a ⇒

a = - 1

Passo 3

Substituindo a = - 1 em (2) temos:

0 = 12 - 1 + 2 b ⇒

0 = - 12 + 2 b ⇒

2 b = 12 ⇒

b = 12 2

b = 6

Resposta

Portanto, para a = - 1 e   b = 6 a função f x = a x 3 + b x 2 tem ponto de inflexão em ( 2 ,   16 ) .

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Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para b
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Seja f definida e derivável no intervalo ] - r , r [r0 . Suponha que f ' x = x 2 + f 2 xp a r at o d oxe m] - r , r [ f 0 = 0 Mostre que 0 é ponto de inflexão horizontal.Mostre que f ' x0 para x ≠ 0 .