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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.5 - Ex. 5

Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente ao gráfico nos pontos de inflexão.

F x = x 4 - 8 x 3

Passo 1

Para analisarmos a concavidade, temos que achar a segunda derivada.

A nossa função é:

F x = x 4 - 8 x 3

Derivando:

F ' x = 4 x 3 - 24 x 2

Agora vamos para a segunda derivada:

F ' ' x = 12 x 2 - 48 x

Para anaisar a concavidade, temos que olhar o sinal dessa segunda derivada.

Passo 2

F ' ' x = 12 x 2 - 48 x

Quando a segunda derivada for positiva, ela será côncava para cima.

Quando a segunda derivada for negativa, ela será côncava para baixo.

F ' ' x > 0 → c o n c a v a   p a r a   c i m a

F ' ' x < 0 → c o n c a v a   p a r a   b a i x o

Vamos analisar quando essa derivada é positiva, para isso vamos olhar o gráfico dessa função de 2 ° grau.

Entre as raízes o valor da derivada vai ser negativo. Antes e depois das raízes ele vai ser positivo.

As raízes vão ser:

12 x 2 - 48 x = 0

12 x x - 4 = 0

x = 0       o u       x - 4 = 0

x = 0       o u       x = 4

Então vamos ter:

F ' ' x > 0 ⟷ x < 0         o u       x > 4

F ' ' x < 0 ⟷ 0 < x < 4

Fazendo a classificação de concavidade:

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x < 0         o u       x > 4

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟷ 0 < x < 4

Passo 3

Agora vamos analisar os pontos de inflexão.

Para termos ponto de inflexão, devemos ter mudança de concavidade da nossa função.

Isso acontece em x = 0 e x = 4 , logo eles são pontos de inflexão.

Passo 4

Vamos achar a inclinação da reta tangente no ponto dfe inflexão e fazer o esboço do gráfico

F ' 0 = 4 0 3 - 24 0 2 = 0

F ' 4 = 4 4 3 - 24 4 2 = 256 - 384 = - 128

A função está em verde e a tangente em laranja

Resposta

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x < 0         o u       x > 4

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟷ 0 < x < 4

x = 0 ,   x = 4 → p o n t o s   d e   i n f l e x ã o

F ' 0 = 0

F ' 4 = - 128

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Ache o ponto (os pontos) de inflexão do gráfico da função definida por f x = x 1 5 e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
Se f x = a x 3 + b x 2 + c x , determine a , b e c de tal forma que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em ( 1 ,- 1 ) e que a inclinação da tangente inflexional seja - 3 .
Se f x = x | x | , mostre que o gráfico de f tem um ponto de inflexão na origem.
Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para b
Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para b