Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 49
Dada e . Encontre (a) ; (b) .
Passo 1
Trata-se de um problema clássico de regra da cadeia com aquele detalhe bem sutil que pega todo mundo de surpresa. Esse tipo de exercício é muito importante para que o aluno sane completamente todas as possíveis dúvidas conceituais sobre o assunto!
Foi nos dado uma função e uma função que é a composta de com . No item (a) é pedido para calcularmos e no item (b) . A sutileza está aqui: no item (a) não vamos usar a regra da cadeia, porque não queremos a derivada de uma função composta, queremos apenas calcular a derivada de quando o argumento da função for . No item (b), por sua vez, queremos a derivada de uma função composta e por isso devemos usar a regra da cadeia!
Passo 2
Já discuti com você que no item (a) não vamos usar a regra da cadeia. Bom, o que fazer então? Pense assim: ele quer , então vamos calcular primeiro :
Agora basta trocar por que resolvemos nosso problema:
Eu sei que você deve estar olhando meio torto para isso, então vou fazer resolver o exercício de novo usando um outro método. Escrever como função de e depois trocar por é totalmente válido e correto, porém confunde um pouco as pessoas, principalmente no começo, então vamos fazer assim:
Desta, podemos calcular :
Agora vamos fazer a composição :
Pronto, chegamos no mesmo resultado! Agora eu desafio refazer o exercício usando sua fruta favorita!!!
Passo 3
Para o item (b) vamos usar a regra da cadeia porque é uma função composta:
Bom, no item (a) já calculamos . Por outro lado, , de modo que
Resposta
(a) (b)