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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 43

Ache o ponto (ou pontos) de inflexão do gráfico da função definida por

f x = 2 - x 2 ,   s e   x < 0 x 2 + 2 ,   s e   x ≥ 0

e determine onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo.

Passo 1

Para x < 0 temos:

f ' x = - 2 x

Para x > 0 temos:

f ' x = 2 x

Da definição de derivada temos:

f + ' 0 = lim x → 0 + ⁡ f x - f ( 0 ) x - 0 ⇒

f + ' 0 = lim x → 0 + ⁡ x 2 + 2 - ( 0 2 + 2 ) x ⇒

f + ' 0 = lim x → 0 + ⁡ x 2 + 2 - 2 x ⇒

f + ' 0 = lim x → 0 + ⁡ x 2 x ⇒

f + ' 0 = lim x → 0 + ⁡ x ⇒

f + ' 0 = 0

E também:

f - ' 0 = lim x → 0 - ⁡ f x - f ( 0 ) x - 0 ⇒

f - ' 0 = lim x → 0 - ⁡ 2 - x 2 - ( 0 2 + 2 ) x ⇒

f - ' 0 = lim x → 0 - ⁡ 2 - x 2 - 2 x ⇒

f - ' 0 = lim x → 0 - ⁡ - x 2 x ⇒

f - ' 0 = lim x → 0 - ⁡ - x ⇒

f - ' 0 = 0

Portanto, f ' 0 = 0 .

Passo 2

Da definição de derivadas sucessivas temos:

Se x < 0 , então f ' ' x = - 2 ;

Se x > 0 , então f ' ' x = 2

E também:

f + ' ' 0 = lim x → 0 + ⁡ f ' x - f ' ( 0 ) x - 0 ⇒

f + ' ' 0 = lim x → 0 + ⁡ 2 - 0 x - 0 ⇒

f + ' ' 0 = lim x → 0 + ⁡ 2 x ⇒

f + ' ' 0 = + ∞

Assim f ' ' ( x ) não existe para x = 0 . Logo temos um ponto de inflexão de f em x = 0 .

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de f ' ' ( x ) antes e depois de x = 0 :

→ Se x < 0 temos f ' ' x = - 2 < 0 . Logo f é côncava para baixo neste intervalo;

→ Se x > 0 temos f ' ' x = 2 > 0 . Logo f é côncava para cima neste intervalo.

Resposta

Portanto, f x = 2 - x 2 ,   s e   x < 0 x 2 + 2 ,   s e   x ≥ 0 tem ponto de inflexão em x = 0 , é côncava pra baixo em ( - ∞ ,   0 ) e côncava para cima em ( 0 ,   + ∞ ) .

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c) f(x) = xe - 2 x
d) f(t) = t 2 + 1 t
g) y =x 1 + x 2
f) g(x) = x 2 x 2 - 2
n) f(x) = x e 1 x