Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 12
Encontre, com precisão de quatro casas decimais, o comprimento da curva de intersecção do cilindro e do plano .
Passo 1
A primeira coisa a se fazer é encontrar uma parametrização da curva C para que seja possível aplicar a fórmula de comprimento de arco posteriormente.
Observamos, pelo enunciado, que a projeção da curva C sobre o plano é uma elipse de equação , ou melhor:
Dessa forma podemos escrever , , .
Como a curva C também está sobre o plano , nós temos
Assim a equação vetorial da curva C é:
Passo 2
Agora que já temos a equação da curva podemos obter sua derivada. Temos
O módulo da derivada, por sua vez, é:
Passo 3
Substituindo o valor do módulo calculada na fórmula de comprimento de arco, obtemos:
Com o auxílio de um software ou calculadora podemos calcular o valor da integral obtida acima. Assim temos:
.