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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 12

Encontre, com precisão de quatro casas decimais, o comprimento da curva de intersecção do cilindro 4 x 2 + y 2 = 4 e do plano x + y + z = 2 .

Passo 1

A primeira coisa a se fazer é encontrar uma parametrização da curva C para que seja possível aplicar a fórmula de comprimento de arco posteriormente.

Observamos, pelo enunciado, que a projeção da curva C sobre o plano x y é uma elipse de equação 4 x 2 + y 2 = 4 , ou melhor:

x 2 + y 2 4 = 1 ,       z = 0

Dessa forma podemos escrever x = cos ⁡ t , y = 2   s e n   t , 0 ≤ t ≤ 2 π .

Como a curva C também está sobre o plano x + y + z = 2 , nós temos

z = 2 - x - y = 2 - cos ⁡ t - 2 s e n   t

Assim a equação vetorial da curva C é:

r t = ( cos ⁡ t ,   2 s e n   t ,   2 - c o s t - 2 s e n   t ) ,                     0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já temos a equação da curva podemos obter sua derivada. Temos

r ' t = ( - s e n   t ,   2 cos ⁡ t ,   s e n   t - 2 cos ⁡ t )

O módulo da derivada, por sua vez, é:

r ' t = - s e n   t 2 + 2 cos ⁡ t 2 + s e n   t - 2 cos ⁡ t 2

= 2 s e n 2 t + 8 cos 2 ⁡ t - 4 s e n   t cos ⁡ t

= ( 2 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t ) + 6 cos 2 ⁡ t - 4   s e n   t cos ⁡ t

= 2 + 6 cos 2 ⁡ t - 4   s e n   t cos ⁡ t

Passo 3

Substituindo o valor do módulo calculada na fórmula de comprimento de arco, obtemos:

∫ 0 2 π r ' t d t = ∫ 0 2 π 2 + 6 cos 2 ⁡ t - 4   s e n   t cos ⁡ t   d t

Com o auxílio de um software ou calculadora podemos calcular o valor da integral obtida acima. Assim temos:

∫ 0 2 π 2 + 6 cos 2 ⁡ t - 4   s e n   t cos ⁡ t   d t = 13 ,   5191

.

Resposta

L = 13 ,   5191

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(a) Faça um esboço grande da curva descrita pela função vetorial r t = t 2 , t ,0 ≤ t ≤ 2 , e desenhe os vetores r 1 ,r 1,1 e r 1,1 - r ( 1 ) .(b) Desenhe o vetor r ' ( 1 ) começando em (1, 1) e comap
Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado. r t = cos ⁡ ti + 3 tj + 2s e n2 tk ,t = 0
Se r t = ( t ,t 2 , t 3 ) , encontre r ' t ,T 1 ,r ' ' ( t ) e r ' ( t ) × r ' ' ( t ) .
Se r t = ( e 2 t ,e - 2 t , t e 2 t ) , determine T 0 ,r ' ' ( 0 ) e r ' t ⋅ r ' ' ( t ) .