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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 10

Trace a curva com equações paramétricas x = s e n   t , y = s e n   2 t , z = s e n   3 t . Encontre o comprimento total desta curva com precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

Chamando a curva de r ( t ) temos:

r t = ( s e n   t ,   s e n   2 t ,   s e n   3 t )

A curva pode ser traçada com o auxílio de um software, conforme vista abaixo:

O comprimento de arco é dado pela fórmula geral:

L = ∫ a b | r ' t | d t

Então deveremos derivar a equação de r t e deveremos também descobrir o intervalo de integração da nossa integral. A figura que foi traçada nos ajudará a encontrar o intervalo de integração, mas note que a nossa curva é periódica, até pelas funções periódicas que compõem sua equação paramétrica. Então descobrindo o período da nossa função, conseguiremos encontrar o intervalo de integração.

Passo 2

Observamos, pelo traçado da curva e por suas componentes, que se trata de uma função vetorial periódica. Analisando o período de cada uma de suas funções componentes, percebe-se que o maior deles é o da função s e n   t , sendo igual à 2 π . Por isso, concluímos que a curva completa é dada para o intervalo do parâmetro t igual à [ 0 ,   2 π ] .

O comprimento de arco é dado pela fórmula geral:

L = ∫ a b | r ' t | d t

Para a função tratada nesse exercício temos

L = ∫ 0 2 π | r ' t | d t

Passo 3

Para calcular o comprimento precisaremos da derivada da curva. Assim, temos:

r ' t = ( cos ⁡ t ,   2 cos ⁡ 2 t ,   3 cos ⁡ 3 t )

Obtida r ' ( t ) , podemos calcular seu módulo:

r ' t = cos 2 ⁡ t + 2 cos ⁡ t 2 + 3 cos ⁡ 3 t 2

r ' t = cos 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ 2 t + 9 cos 2 ⁡ 3 t

Passo 4

Obtido o módulo da derivada, substituímos o valor na fórmula do comprimento de arco:

L = ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ 2 t + 9 cos 2 ⁡ 3 t d t

Utilizando uma calculadora avançada ou um software é possível obter a aproximação da integral acima. Obtemos:

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ 2 t + 9 cos 2 ⁡ 3 t d t ≈ 16,0264

Resposta

L ≈ 16,0264

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Trace a curva com equações paramétricas x = 1 + cos ⁡ 16 t cos ⁡ t,y = 1 + cos ⁡ 16 ts e nt,z = 1 + cos ⁡ 16 t Explique a aparência da curva, mostrando que ela está em um cone.
Utilize um computador para traçar a curva da equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a revelar a verdadeira natureza da curva. r t = t ,e t , cos ⁡ t
Mostre que a curva com equações paramétricas x = t 2,y = 1 - 3 t,z = 1 + t 3 passa pelos pontos 1 ,4 ,0 e 9 ,- 8 ,28 , mas não passa pelo ponto 4 ,7 ,- 6 .
Tente esboçar à mão a curva obtida pela intersecção do cilindro circular x 2 + y 2 = 4 com o cilindro parabólico z = x 2 . Determine então as equações paramétricas dessa curva e utilize um computador
Trace a curva com equações paramétricas x = 1 - 0,25 cos 2 ⁡ 10 t cos ⁡ t,y = 1 - 0,25 cos 2 ⁡ 10 t s e nt,z = 0,5 cos ⁡ 10 t Explique a aparência da curva, mostrando que ela está em uma esfera.