Encontre a primitiva mais geral da função. (Verifique sua resposta derivando.)

f(u) = (u^4 + 3 * raiz(u)) / u^2

Passo 1

E ai! Tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função:

f u = u 4 + 3 u u 2

E nosso objetivo é calcular sua função primitiva.

Parece complicado?

Uma função primitiva de f u é a função que quando derivada resulta em f u .

Então temos que descobrir qual função que quando derivada resulta na função f u ...

Para a nossa sorte existe algumas regrinhas que podemos aplicar em f u para obter sua primitiva.

Perceba que f u é uma função quociente... então podemos reescrevê-la como uma função de potências para aplicar a inversa da regra da potência.

a x n → a x n + 1 n + 1 + C

Para n ≠ - 1 e onde C é uma constante que temos que acrescentar ao resultado.

Bora começar!

Passo 2

Reescrevendo a função f , temos

f u = u 4 + 3 u u 2 = u 4 u 2 + 3 u u 2

f u = u 4 - 2 + 3 u 1 2 - 2

f u = u 2 + 3 u - 3 2

Aplicando a regra da potência para primitivas que vimos no passo 1...

F u = u 2 + 1 2 + 1 + 3 u - 3 2 + 1 - 3 2 + 1 + C

F u = u 3 3 + 3 u - 1 2 - 1 2 + C

Simplificando as frações...

F u = u 3 3 - 6 u - 1 2 + C

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Vamos derivar o resultado para verificar a resposta.

F ' u = d u 3 3 - 6 u - 1 2 + C d x = d u 3 3 d x - d 6 u - 1 2 d x + d C d x

Pela regra da potência, temos:

F ' u = 3 u 3 - 1 3 - 6 - 1 2 u - 1 2 - 1 + 0

F ' u = u 2 + 3 u - 3 2

Dessa forma, como F ' u = f u , então provamos que F u é a função primitiva de f u !

E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

F u = 1 3 u 3 - 6 u + C

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