Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.8 - Ex. 111
Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 91-112.
Passo 1
Como o enunciado nos dá uma equação diferencial de 4ª ordem, deve-se fazer a integral da mesma quatro vezes e, no resultado de cada uma delas, aplicar os valores de condição inicial para encontrar o valor das constantes que irão surgir no resultado de cada integral indefinida.
O resultado da quarta integral irá nos dar a função primitiva da derivada de quarta ordem, na qual podemos substituir os últimos valores da condição inicial a fim de encontrarmos a equação desejada.
Passo 2
Portanto,
Passo 3
O exercício nos dá uma condição inicial na qual diz que quando . Com esses valores é possível descobrir o valor da primeira constante e, assim, descobrir a equação que representa a terceira derivada. Logo:
Então, a equação da terceira derivada é .
Passo 4
Em seguida, deve-se integrar novamente para encontrar a equação da segunda derivada:
Passo 5
O exercício nos dá uma segunda condição inicial na qual diz que quando . Com esses valores é possível descobrir o valor da segunda constante e, assim, saber qual é a equação da segunda derivada. Logo:
Então, a equação da segunda derivada é .
Passo 6
Mais uma vez, deve-se fazer a integral:
Passo 7
Neste passo, aplicamos a próxima condição inicial na qual diz que quando . Com esses valores é possível descobrir o valor da terceira constante e, assim, saber qual é a primeira derivada. Logo:
Então, a primeira derivada é .
Passo 8
Finalmente, deve-se fazer a última integral:
Passo 9
Neste passo, aplicamos a última condição inicial na qual diz que quando . Com esses valores é possível descobrir o valor da quarta constante e, assim, saber qual é a função desejada. Logo:
Então, a equação desejada é .
Resposta
A solução do P.V.I. é .