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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 12

Em cada um dos problemas de 1 a 12, determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não inclui o ponto singular

12.

x 2 y ″ - 4 x y ' + 4 y   =   0  

Passo 1

Essa função tem o seguinte formato

P x y " + Q ( x ) y ' + R ( x ) y   =   0

E quando nosso enunciado nos fala sobre “ponto singular” ele está querendo dizer os pontos de x onde

P x = 0

Quaisquer outros pontos são chamados de ordinários. Beleza!!! O que faremos agora é supor que a solução do nosso problema é

y = x r

E com isso substituir na nossa equação

y ' = r x r - 1

y "   =   r ( r - 1 ) x r - 2    

Passo 2

Vamos jogar dentro da nossa equação e ver o resultado disso

x 2 y ″ - 4 x y ' + 4 y   =   0  

x 2 r ( r - 1 ) x r - 2 - 4 x   r x r - 1 + 4 x r = 0

A sagacidade está em perceber que nossa função y " está sendo multiplicada por x 2 , logo podemos ajustar os expoentes e deixar tudo com a seguinte cara

r ( r - 1 ) x r - 4 r x r + 4 x r = 0

x r ( r r - 1 - 4 r + 4 ) = 0

Logo ou nossa função x r = 0 e assim temos a solução trivial, ou temos a seguinte equação solução

r r - 1 - 4 r + 4 = 0

r 2 - 5 r + 4 = 0

Por produtos notáveis podemos perceber que essa função tem a seguinte resposta

r - 4 r - 1 = 0

Passo 3

Por fim nossa solução tem o seguinte formato:

y = c 1 x r 1 + c 2 x r 2  

Que no nosso caso fica

y = c 1 x 4 + c 2 x 1  

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y = c 1 x 4 + c 2 x  

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