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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.2 - Ex. 43

Encontre a soma de cada série nos exercícios 41-48. ∑ n = 1 ∞ 40 n 2 n - 1 ² ( 2 n + 1 ) ²

Passo 1

E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Cálculo, vamos lá?Primeiramente, precisamos entender que estamos lidando com somatórios da série, logo, de certa forma é algo que nos dará bastante trabalho. Entretanto, não existe um jeito “certo” de realizar todos os cálculos, cada exercício exigirá uma especificidade.Mas, chega de enrolação e vamos lá para os exercícios, preste bem atenção na resolução, volto a repetir, não existe apenas uma maneira de realizar o exercício.

Passo 2

Agora vamos montar a série, vem comigo! ∑ n = 1 ∞ 40 n 2 n - 1 ² ( 2 n + 1 ) ²

Para resolvermos a série, vamos abrir o seu somatório e logo em seguida realizar uma mudança de variável e por fim, tomar o limite para que possamos encontrar o resultado.

Passo 3

Agora, vamos resolver a série, chega aí!

∑ n = 1 ∞ 40 n 2 n - 1 2 2 n + 1 2 Vamos abrir o seu somatório e realizar a mudança de variável, logo em seguida: s k = 40 n 2 n - 1 2 2 n + 1 2 =   A 2 n - 1 + B 2 n + 1 2 + C 2 n - 1 + D 2 n + 1 2 s k = A 2 n - 1 2 n + 1 2 + B 2 n + 1 2 + C 2 n + 1 2 n - 1 2 + D 2 n - 1 2 2 n - 1 2 2 n + 1 2 s k = A 2 n - 1 2 n + 1 2 + B 2 n + 1 2 + C 2 n + 1 2 n - 1 2 + D 2 n - 1 2 = 40 n s k = A 8 n 3 + 4 n 2 - 2 n - 1 + B 4 n 2 + 4 n + 1 + C 8 n 3 - 4 n 2 - 2 n + 1 = D 4 n 2 - 4 n + 1 = 40 n s k = 8 A + 8 C n 3 + 4 A + 4 B - 4 C + 4 D n 2 + - 2 A + 4 B - 2 C - 4 D n + - A + B + C + D = 40 n

4 A + 4 B - 4 C + 4 D = 0 - 2 A + 4 B - 2 C - 4 D = 40 - A + B + C + D = 0 → A + B - C + D = 0 - A + 2 B - C - 2 D = 2 0 - A + B + C + D = 0 → B + D = 0 2 B - 2 D = 20

A = 0 ; B = 5 ; C = 0 ; D = - 5 s k = ∑ n = 1 k 40 n 2 n - 1 ² 2 n + 1 ²   s k = 5 ∑ n = 1 k 1 ( 2 n - 1 ) ² - 1 ( 2 n + 1 ) ² s k = 5 1 1 - 1 9 + 1 9 - 1 2 5 + 1 2 5 - … - 1 ( 2 k - 1 + 1 ) ² + 1 ( 2 k - 1 ) ² - 1 ( 2 k + 1 ) ² s k = 5 1 - 1 ( 2 k + 1 ) ² Encontrando esse resultado, agora iremos tomar o limite em função de s k . lim k → ∞ ⁡ s k lim k → ∞ ⁡ 5 1 - 1 ( 2 k + 1 ) ² l i m k → ∞ = 5 Questão resolvida!!

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!

Resposta

5

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