Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 45
Se for uma série convergente com termos positivos, é verdade que também será convergente?
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo certo com vocês?
Essa questão quer que a gente analise a convergência de:
dada uma outra série . Isso não nos dá uma ideia de comparação? Isso mesmo, a ideia aqui é usar o Teste da Comparação. Não custa nada a gente o trazer aqui pra refrescar nossa memória:
Funciona assim: nós comparamos uma série dada no enunciado que a gente já sabe o comportamento com nossa série também dada no enunciado:
- Se for convergente e para todo , então também será convergente.
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiramente, vamos tentar provar que para todo . Para isso vamos analisar as derivadas em
- Para a função , a derivada é constantemente igual a 1.
- Para a função , a derivada atinge seu valor máximo de 1 em e começa a diminuir à medida que nos afastamos desse ponto.
Como a derivada do seno nunca ultrapassa o valor de 1 e começa a diminuir após , enquanto a derivada de é sempre 1, concluímos que para valores de maiores que 0, a função está sempre abaixo da função . Portanto, para todo .
Passo 3
Sabendo disso, é possível afirmar que , para todo e como converge, já que foi dado no enunciado, pelo teste da comparação
Também converge.
Resposta
Sim.