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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 14

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos Exercícios 1-30.

f x ,   y = x 3 + 3 x y + y 3

Passo 1

Oi pessoal, vamos lá fazer esse exercício juntos!

Quando encontrávamos os valores extremos locais de uma função de apenas uma variável, procurávamos os pontos onde o gráfico tinha uma reta tangente horizontal, ou seja, os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de inflexão. Já para uma função f x ,   y de duas variáveis, procuramos pontos onde a superfície z = f x ,   y tenha um plano tangente horizontal. Sendo assim, nesses pontos, procuramos máximos e mínimos e pontos de sela.

Então, se uma função f tem um máximo ou mínimo local em a ,   b e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então f x = a ,   b = 0 e f y = a ,   b = 0 .

Além disso, também sabemos que um ponto interior do domínio de uma função f x ,   y onde tanto f x como f y sejam zero ou onde f x ou f y ou ambas não existam é um ponto crítico de f .

Então primeiramente, iremos calcular as derivadas parciais:

f x = 3 x 2 + 3 y = 3 ( x 2 + y )

f y = 3 x + 3 y 2 = 3 ( x + y 2 )

Passo 2

Quando essas derivadas são nulas, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas:

x 2 + y = 0         ( I ) x + y 2 = 0     ( I I )

Resolvendo esse sisteminha, da equação (I), temos:

y = - x 2

Substituindo na equação (II):

x + - x 2 2 = 0

x 4 + x = 0

Colocando x em evidência:

x ( x 3 + 1 ) = 0

Então temos:

x = 0

E:

x 3 + 1 = 0

x = - 1 3 = - 1

Agora precisamos voltar na equação 1, para descobrirmos os valores de y :

  • Para x = 0 :

    • y = - x 2 = 0

  • Para x = - 1 :

    • y = - - 1 2 = - 1

    Sendo assim, temos os pontos f 0 ,   0 e f - 1 ,   - 1 .

    Passo 3

    Com os pontos encontrados no Passo 2, precisamos definir se eles são de máximo, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos relembrar que:

  1. f tem um máximo local em a ,   b se f x x < 0 e f x x f y y - f x y 2 > 0 em a ,   b .
  2. f tem um mínimo local em a ,   b se f x x > 0 e f x x f y y - f x y 2 > 0 em a ,   b .
  3. f tem um ponto de sela em a ,   b se f x x f y y - f x y 2 < 0 em a ,   b .

Então, vamos descobrir a nossas derivadas da segunda ordem, à partir das derivadas encontradas no Passo 1:

f x = 3 x 2 + 3 y = 3 ( x 2 + y )

f y = 3 x + 3 y 2 = 3 ( x + y 2 )

f x x = 6 x

f y y = 6 y

f x y = 3

Passo 3

Para o ponto f 0 ,   0 , podemos observar que f x x = 0 , então já sabemos que este ponto não é máximo ou mínimo local, sendo assim:

f x x f y y - f x y 2 = 0 - 3 2 = - 9

Como o valor encontrado é menor que zero, podemos fizer que o ponto crítico 0 ,   0 é um ponto de sela.

Passo 4

Já o ponto f - 1 ,   - 1 , temos que:

f x x = 6 ∙ - 1 = - 6

Além disso, temos:

f x x f y y - f x y 2 = 6 ∙ - 1 ∙ 6 ∙ - 1 - 3 2 = 36 - 9

f x x f y y - f x y 2 = 27

Podemos observar que o ponto crítico - 1 ,   - 1 satisfazem as condições de um máximo local.

Espero que eu tenha conseguido te ajudar, até mais galerinha!

Resposta

  • f 0 ,   0 ponto de sela;
  • f - 1 ,   - 1 máximo local.

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