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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 20

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos Exercícios 1-30.

f x ,   y = x 4 + y 4 + 4 x y

Passo 1

Oi pessoal, vamos lá fazer esse exercício juntos!

Quando encontrávamos os valores extremos locais de uma função de apenas uma variável, procurávamos os pontos onde o gráfico tinha uma reta tangente horizontal, ou seja, os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de inflexão. Já para uma função f x ,   y de duas variáveis, procuramos pontos onde a superfície z = f x ,   y tenha um plano tangente horizontal. Sendo assim, nesses pontos, procuramos máximos e mínimos e pontos de sela.

Então, se uma função f tem um máximo ou mínimo local em a ,   b e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então f x = a ,   b = 0 e f y = a ,   b = 0 .

Além disso, também sabemos que um ponto interior do domínio de uma função f x ,   y onde tanto f x como f y sejam zero ou onde f x ou f y ou ambas não existam é um ponto crítico de f .

Então primeiramente, iremos calcular as derivadas parciais:

f x = 4 x 3 + 4 y = 4 ( x 3 + y )

f y = 4 y 3 + 4 x = 4 ( y 3 + x )

Passo 2

Quando essas derivadas são nulas, temos o sistema com duas equações e duas incógnitas:

x 3 + y = 0         ( I ) y 3 + x = 0       ( I I )

Para a equação (I):

y = - x 3

Substituindo na equação (II):

- x 3 3 + x = 0

- x 9 + x = 0

Isolando x :

- x ( x 8 - 1 ) = 0

Então temos:

x = 0       x = 1       x = - 1

Substituindo os valores de x na equação (I):

  • Para x = 0 :

    • y = 0

  • Para x = 1 :

    • y = - 1

  • Para x = - 1 :

y = 1

Sendo assim, temos os pontos f 0 ,   0 , f 1 ,   - 1 e f - 1 ,   1 .

Passo 3

Com os pontos encontrados no Passo 2, precisamos definir se eles são de máximo, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos relembrar que:

  1. f tem um máximo local em a ,   b se f x x < 0 e f x x f y y - f x y 2 > 0 em a ,   b .
  2. f tem um mínimo local em a ,   b se f x x > 0 e f x x f y y - f x y 2 > 0 em a ,   b .
  3. f tem um ponto de sela em a ,   b se f x x f y y - f x y 2 < 0 em a ,   b .

Então, vamos descobrir a nossas derivadas da segunda ordem, à partir das derivadas encontradas no Passo 1:

f x x = 12 x 2

f y y = 12 y 2

f x y = 4

Passo 4

Para o ponto f 0 ,   0 , podemos observar que f x x = 0 , então já sabemos que este ponto não é máximo ou mínimo local, sendo assim:

f x x f y y - f x y 2 = 0 - 4 2 = - 16

Como o valor encontrado é menor que zero, podemos dizer que f 0 ,   0 é um ponto de sela.

Passo 5

Para o ponto 1 ,   - 1 temos:

f x x = 12 ∙ 1 2 = 12

Este pode ser um ponto de mínimo local, podemos confirmar por:

f x x f y y - f x y 2 = 12 ∙ 12 ∙ - 1 2 - 4 2 = 128

Como o valor encontrado é maior que zero, podemos fizer que 1 ,   - 1 é um mínimo local.

Passo 6

E por fim, para o ponto - 1 ,   1 temos:

f x x = 12 ∙ - 1 2 = 12

Este pode ser um ponto de mínimo local, podemos confirmar por:

f x x f y y - f x y 2 = 12 ∙ 12 ∙ 1 2 - 4 2 = 128

Como o valor encontrado é maior que zero, podemos fizer que - 1 ,   1 também é um mínimo local.

Resposta

  • f 0 ,   0 ponto de sela;
  • f 1 ,   - 1 mínimo local;
  • f - 1 ,   1 mínimo local.

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