Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas

r = sen(θ)

r = sen(2θ)

Passo 1

Quer dizer então que precisamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas.

Temos as curvas:

r = sen ⁡ θ

r = sen ⁡ 2 θ

E para encontrarmos os pontos de interseção, deveremos igualar as equações dessas curvas, encontrarmos os ângulos em que elas se encontram, e após isso poderemos encontrar o raio que isso acontece substituindo o ângulo encontrado em qualquer uma das duas equações.

Mas também deveremos testar se as curvas de encontram na origem. Isso é, deveremos fazer r = 0 , se existe qualquer valor de θ que satisfaça isso, quer dizer que nossas funções se encontram na origem, independente para qual valor de θ de cada uma.

Passo 2

Vamos buscar esses pontos.

Igualando as curvas:

sen ⁡ θ = sen ⁡ 2 θ

Aplicando a forma do seno do arco duplo:

sen ⁡ θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

sen ⁡ θ - 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 0

sen ⁡ θ ( 1 - 2 cos ⁡ θ ) = 0

E daí, temos que

sen ⁡ θ = 0

θ = 0   ;   π

Ou

1 - 2 cos ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ = 1 2

Olhando o círculo trigonométrico:

Temos então que:

θ = π 3

E

θ = 5 π 3

Passo 3

Agora que já encontramos os valores de θ para os quais as duas curvas se intersectam, vamos encontrar o valor de r também?

Assim a gente forma o ponto ( r ,   θ ) bonitinho e fecha logo a questão!

Para isso, é só substituir os valores de θ em uma das curvas, já que como é um ponto de inteseção, tanto faz a curva que vamos escolher, as duas vão dar o mesmo ponto!

Para θ = 0 ;   π :

r = sen ⁡ 0 = 0

Veja que nem precisamos testar se as figuras se encontram na origem, por termos as funções seno aqui, e que possuem um θ que a zeram.

Para θ = π 3 :

r = sen ⁡ π 3 = 3 2

Para θ = 5 π 3 :

r = sen ⁡ 2 π 3 = - 3 2

Os pontos de interseção são, portanto,

P 1 = 0,0   ;   ( 0 , π )

P 2 = 3 2 , π 3

P 3 = - 3 2 , 5 π 3

Resposta

P 1 = 0,0   ;   ( 0 , π )

P 2 = 3 2 , π 3

P 3 = 3 2 , 2 π 3

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