Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.6 - Ex. 24
Mostre que as parábolas
se interceptam em ângulos retos.
Passo 1
Beleza, pessoal? Bom... o enunciado nos deu as seguinte esquações que descrevem parábolas:
Temos que mostrar que essas parábolas, quando se cruzam, tem retas tangentes perpendiculares entre si.
Ou seja, temos que mostrar que, se a derivada de uma parábola no ponto de intersecção é , então a derivada da outra é , beleza?
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Você pode tentar obter diretamente das equações polares, usando uma fórmula. Mas parece mais fácil primeiro converter a equação para coordenadas retangulares, ok?
Convertendo a primeira equação, temos:
Sabemos que , portanto:
Elevando todo mundo ao quadrado:
Sabemos que , portanto:
Agora para a segunda equação, de forma análoga, temos:
Passo 3
Agora que temos as equa��ões em coordenadas retangulares, vamos derivá-las em relação a , beleza?
Derivando a primeira equação:
Isolando :
Agora, de forma análoga, derivando a segunda equação, temos:
Passo 4
Show! Agora só precisamos saber onde as parábolas se cruzam, ou seja, onde elas têm os mesmos valores de e .
Mais especificamente, precisamos apenas do valor de da intersecção, pra gente jogar nas derivadas encontradas no Passo 3.
Então a gente isola em cada equação, e depois os igualamos, beleza?
Isolando das duas equações:
Igualando :
Passo 5
Show! Agora que a gente sabe o valor de da intersecção, podemos calcular as derivadas nesse ponto:
Realmente, no ponto de intersecção, as derivadas são o oposto e inverso uma da outra, então mostramos que as parábolas se interceptam em ângulos retos!
Resposta
Demonstração