Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.6 - Ex. 24

Mostre que as parábolas

se interceptam em ângulos retos.

Passo 1

Beleza, pessoal? Bom... o enunciado nos deu as seguinte esquações que descrevem parábolas:

Temos que mostrar que essas parábolas, quando se cruzam, tem retas tangentes perpendiculares entre si.

Ou seja, temos que mostrar que, se a derivada de uma parábola no ponto de intersecção é , então a derivada da outra é , beleza?

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Você pode tentar obter diretamente das equações polares, usando uma fórmula. Mas parece mais fácil primeiro converter a equação para coordenadas retangulares, ok?

Convertendo a primeira equação, temos:

Sabemos que , portanto:

Elevando todo mundo ao quadrado:

Sabemos que , portanto:

Agora para a segunda equação, de forma análoga, temos:

Passo 3

Agora que temos as equa��ões em coordenadas retangulares, vamos derivá-las em relação a , beleza?

Derivando a primeira equação:

Isolando :

Agora, de forma análoga, derivando a segunda equação, temos:

Passo 4

Show! Agora só precisamos saber onde as parábolas se cruzam, ou seja, onde elas têm os mesmos valores de e .

Mais especificamente, precisamos apenas do valor de da intersecção, pra gente jogar nas derivadas encontradas no Passo 3.

Então a gente isola em cada equação, e depois os igualamos, beleza?

Isolando das duas equações:

Igualando :

Passo 5

Show! Agora que a gente sabe o valor de da intersecção, podemos calcular as derivadas nesse ponto:

Realmente, no ponto de intersecção, as derivadas são o oposto e inverso uma da outra, então mostramos que as parábolas se interceptam em ângulos retos!