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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 36

Encontre três conjuntos diferentes de equações paramétricas para representar a curva y = x 3 , x ∈ R .

Passo 1

Olá, meu parceiro. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

O problema pede para acharmos três parametrizações diferentes para a curva:

y = x 3

A verdade é que existem infinitas forma de você parametrizar essa curva, até porque não precisamos criar uma parametrização ‘boa’, que facilite um cálculo de derivada ou integral da função, precisamos apenas parametrizar a função.

Então o que você deve levar em consideração aqui é a imagem e o domínio da nossa curva precisam permanecer inalterados, isso é, devemos continuar podendo obter em y todos os valores necessários para desenhar nossa curva, seja ela em forma paramétrica ou não.

Por exemplo, você poderia pensar em fazer algo do tipo x = cos ⁡ t e y = cos 3 ⁡ t , mas isso teria um problema muito sério: queremos que x possa ser qualquer número real, e cos ⁡ t não cumpre esse papel.

Outra escolha que seria errada é x = t 2 e y = t 6 , pois neste caso x ≥ 0 .

Levando esses pontos em consideração, é só sucesso.

Passo 2

A escolha mais óbvia é

x = t ,           y = t 3 ,               t ∈ R

Uma outra escolha válida é:

x = t 3 ,           y = t 9 ,             t ∈ R

Poderíamos seguir brincando fazendo x = t 5 , y = t 15 e assim por diante com potências ímpares, porém no próximo passo faço algo mais interessante!

Note que a função tangente tem imagem real. Assim, vamos escolher

x = tan ⁡ t ,             y = tan 3 ⁡ t ,             - π 2 < t < π 2

Outra função que tem imagem real é o logaritmo:

x = ln ⁡ t ,               y = ln ⁡ t 3 ,                 t > 0

Resposta

x = t ,           y = t 3 ,               t ∈ R

x = tan ⁡ t ,             y = tan 3 ⁡ t ,             - π 2 < t < π 2

x = ln ⁡ t ,               y = ln ⁡ t 3 ,                 t > 0

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