a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.

b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

x = cosh(t), y = senh(t)

Passo 1

Oi, meu amigo. Vou te ajudar a resolver a atividade.

O problema fornece uma curva na forma parametrizada e pede para encontrarmos uma equação cartesiana que relacione x e y .

Neste caso, temos:

x = cosh ⁡ t ;   y = s e n h   t

Para esse problema você lembrar que:

cosh 2 ⁡ t - s e n h 2   t = 1

Que é a identidade trigonometria hiperbólica. Iremos utilizar essa relação para descobrirmos a equação cartesiana, isso é, uma relação entre x e y em uma mesma equação, e resolvermos essa atividade.

Após termos encontrado a equação cartesiana, iremos então prosseguir com o gráfico da função.

Para isso iremos nos atentar qual a figura gerada pela equação cartesiana, e iremos observar o que acontece com x e y quando aumentamos os valores de t .

Criar um gráfico, caso você não saiba previamente o comportamento da função, é você encontrar os pontos de encontro entre os eixos, e também analisar o comportamento da função com diversos valores de x .

Passo 2

Dada a nossa parametrização:

x = cosh ⁡ t ;   y = s e n h   t

A gente vai jogar esses valores na identidade comentada no passo 1:

cosh 2 ⁡ t - s e n h 2   t = 1

Assim, a equação cartesiana da curva é a hipérbole:

x 2 - y 2 = 1

Mas cuidado, não podemos desenhar a hipérbole toda, pois:

cosh ⁡ t = e t + e - t 2

cosh ⁡ t ≥ 1

E consequentemente:

x ≥ 1

Apenas um dos ramos da hipérbole deve ser desenhado! Então temos uma hipérbole que toca o eixo x em:

x 2 - 0 = 1

x = 1

Fazendo um esboço da curva...

Conforme t aumenta, y = s e n h   t cresce!

Resposta

x 2 - y 2 = 1 ,               x ≥ 1

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