Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 15

Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:

Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

Passo 1

Fala ai galerinha! De boa?

Nessa questão precisamos determinar a equação cartesiana de uma curva parametrizada pelas seguintes equações, e . Além disso, deseja-se esboçar a curva no plano cartesiano e indicar a direção na qual a curva é traçada à medida que o parâmetro varia.

E o que podemos fazer para resolver?

Identificar as equações paramétricas.
Eliminar o parâmetro.
Esboçar a curva e verificar a direção da curva.

Vamos começar!

Passo 2

a) Se observarmos com carinho, vamos perceber que esse expoente negativo aí no tá queremos nos enganar mas não vai conseguir, porque

Ou seja, considerando , temos

E como não há nenhuma restrição para o parâmetro, estamos falando da curva inteira.

Só precisamos tomar cuidado que esse aí no numerador tem que ser sempre maior que zero, assim

Passo 3

Para a construção da curva. Podemos concluir que :

A equação representa uma hipérbiole nos quadrantes e
Para , e
Para , e
Quando aumenta, aumenta e diminui, seguindo uma direção específica nos quadrantes.