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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 66

Encontre o valor da constante A de forma que y = A sin ⁡ 3 t satisfaça a equação

d 2 y d t 2 + 2 y = 4 sin ⁡ 3 t

Passo 1

Temos a função y = A sin ⁡ 3 t . Queremos determinar quanto deve valer A para que a igualdade

d 2 y d t 2 + 2 y = 4 sin ⁡ 3 t

seja válida.

Passo 2

Portanto, vamos começar calculando d 2 y / d t 2 . Façamos u = 3 t .

y = A sin ⁡ 3 t d y d t = d y d u d u d t d y d t = d d u A sin ⁡ u d d t 3 t d y d t = A cos ⁡ u ⋅ 3 d y d t = 3 A cos ⁡ u

Logo,

d 2 y d t 2 = d d u 3 A cos ⁡ u d d t 3 t d 2 y d t 2 = - 3 A sin ⁡ u ⋅ 3 d 2 y d t 2 = - 9 A sin ⁡ u

Lembrando que u = 3 t , então

d 2 y d t 2 = - 9 A sin ⁡ 3 t

Passo 3

Portanto,

d 2 y d t 2 + 2 y = 4 sin ⁡ 3 t - 9 A sin ⁡ 3 t + 2 A sin ⁡ 3 t = 4 sin ⁡ 3 t - 7 A sin ⁡ 3 t = 4 sin ⁡ 3 t - 7 A = 4 A = - 4 7

Resposta

Devemos ter A = - 4 7 .

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