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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 83

Encontre uma fórmula para

(d)/(d x) [f (g (h (x)))]

Passo 1

Queremos encontrar uma fórmula do tipo “regra da cadeia” para uma composição de três funções. Como diria o Chaves: “Mas eu sabia essa para duas” :D

Veja que a função g (h (x)) pode ser encontrada como sendo uma função m (x) . Assim, ficamos simplesmente com:

f (m (x))

que sabemos derivar!

Passo 2

Vamos usar a estratégia citada no Passo 1. Fazendo m (x) = g (h (x)) , temos

(d)/(d x) [f (g (h (x)))] = (d)/(d x) [f (m (x))] (d)/(d x) [f (g (h (x)))] = m^' (x) f^' (m (x)) (d)/(d x) [f (g (h (x)))] = m^' (x) f^' (g (h (x)))

Porém, para calcularmos m^' (x) devemos utilizar mais uma vez a regra da cadeia:

m^' (x) = (d)/(d x) [g (h (x))] m^' (x) = h^' (x) g^' (h (x))

Sendo assim, segue que (d)/(d x) [f (g (h (x)))] = h^' (x) g^' (h (x)) f^' (g (h (x)))

que é a fórmula que procuramos!

Resposta

(d)/(d x) [f (g (h (x)))] = h^' (x) g^' (h (x)) f^' (g (h (x)))

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