Encontre uma fórmula para

d / dx [f(g(h(x)))]

Passo 1

Queremos encontrar uma fórmula do tipo “regra da cadeia” para uma composição de três funções. Como diria o Chaves: “Mas eu sabia essa para duas” :D

Veja que a função g h x pode ser encontrada como sendo uma função m x . Assim, ficamos simplesmente com:

f m x

que sabemos derivar!

Passo 2

Vamos usar a estratégia citada no Passo 1. Fazendo m x = g h x , temos

d d x f g h x = d d x f m x d d x f g h x = m ' x f ' m x d d x f g h x = m ' x   f ' g h x

Porém, para calcularmos m ' x devemos utilizar mais uma vez a regra da cadeia:

m ' x = d d x g h x m ' x = h ' x g ' h x

Sendo assim, segue que d d x f g h x = h ' x g ' h x f ' g h x  

que é a fórmula que procuramos!

Resposta

d d x f g h x = h ' x g ' h x f ' g h x

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