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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 72

Use a fórmula derivada de sin ⁡ x e a identidade

cos ⁡ x = sin ⁡ π 2 - x

para obter a fórmula da derivada de cos ⁡ x .

Passo 1

Já sabemos que cos ⁡ x ' = - sin ⁡ x , correto? Vamos verificar esse resultado a partir da derivada do seno e usando a identidade trigonométrica cos ⁡ x = sin ⁡ π 2 - x . Porém, note que devemos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Seja u = π 2 - x . Assim, temos:

sin ⁡ π 2 - x = sin ⁡ u d d x sin ⁡ π 2 - x = d d x sin ⁡ u Para calcular a derivada à direita, usamos a regra da cadeia:

d d x sin ⁡ u = d d u sin ⁡ u d u d x d d x sin ⁡ u = cos ⁡ u - 1 d d x sin ⁡ u = - cos ⁡ u

Lembrando que u = π 2 - x , então:

d d x sin ⁡ π 2 - x = - cos ⁡ π 2 - x

Porém, sin ⁡ π 2 - x = cos ⁡ x e cos ⁡ π 2 - x = sin ⁡ x . Sendo assim,

d d x cos ⁡ x = - sin ⁡ x

Passo 3

Portanto, nossa expectativa de que d d x cos ⁡ x = - sin ⁡ x estava realmente correta!

Resposta

d d x cos ⁡ x = - sin ⁡ x

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